У рівнобічній трапесії ABCD (AD найбільша основа) з вершин А і D проведено перпендикуляри AM і DN до сторін CD і AB. Довести, що AM = DN
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Позначимо AM = x та DN = y. Тоді ми хочемо довести, що x = y.
Оскільки AM та DN — перпендикуляри до сторін CD та AB відповідно, можна використовувати подібні трикутники.
Розглянемо трикутники AMD та DNB.
∠AMD = ∠DNB (перпендикуляри до однієї і тієї ж сторони рівнобічної трапеції ABCD).
∠MAD = ∠NDB (перпендикуляри до основ трапеції).
Отже, трикутники AMD та DNB подібні за кутовою стороною (AA).
Це означає, що співвідношення довжин сторін цих трикутників дорівнює співвідношенню довжин відповідних сторін:
{AM}{DN} = {AD}{DB}.
Оскільки AD найбільша основа трапеції, то AD = BC.
Таким чином, ми отримуємо:
{AM}{DN} = {AD}{DB} = BC}{DB}.
Тепер звернемо увагу на рівнобічну трапецію ABCD. У такій трапеції основи AD і BC рівні, тобто AD = BC. Таким чином, ми можемо замінити AD на BC у нашому виразі:
{AM}{DN} = {BC}{DB} = {AD}{DB} = 1.
Отже, ми отримали, що AM = DN. Це й доводить те, що шукали.