Ответы
Давайте попробуем решить данное уравнение.
Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса как:
\(\arcsin(x) = \alpha\) и \(\arccos(x) = \beta\).
Тогда у нас есть:
\(2\arcsin(x) - \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\)
Заменим \(\arcsin(x) = \alpha\) и \(\arccos(x) = \beta\) :
\(2\alpha - \beta = \frac{\pi}{2}\)
И также, мы знаем, что \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\), так как сумма арксинуса и арккосинуса для одного значения \(x\) равна \(\frac{\pi}{2}\).
Теперь давайте решим эту систему уравнений:
Запишем \(\beta\) через \(\alpha\) в первом уравнении: \(\beta = 2\alpha - \frac{\pi}{2}\)
Тепер подставим это во второе уравнение:
\(\alpha + (2\alpha - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)
Решим это:
\(3\alpha - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)
Получаем: \(3\alpha = \pi\), следовательно, \(\alpha = \frac{\pi}{3}\).
Теперь подставим это значение в одно из уравнений, чтобы найти \(\beta\):
\(\beta = 2\alpha - \frac{\pi}{2}\)
\(\beta = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}\)
\(\beta = \frac{\pi}{3}\)
Таким образом, \(\arcsin(x) = \frac{\pi}{3}\) и \(\arccos(x) = \frac{\pi}{3}\).
Это возможно только если \(x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Итак, решение уравнения \(2\arcsin(x) - \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\) - это \(x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).