Question

Дано трикутник АВС і площину α , яка не перетинає його. Через вершини трикутника АВС і точку Μ — середину медіани AD цього трикутника — проведені паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А1, B1, C1 і М1,D1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка СС1, якщо АА1 = 3, BB1 = 8, ММ1 = 5.

Answer 1

З означень, відомо, що М1 є серединою ділянки МД. Також, AD є медіаною, тому АМ1 = ММ1.

Застосуємо теорему Бісектрис на трикутнику ABC. Знаємо, що відношення довжини бісектриси до відповідного відрізка медіани дорівнює відношенню суми катетів до гіпотенузи в прямокутному трикутнику.

\( \frac{AM_1}{MD} = \frac{AB + AC}{BC} \)

Оскільки \(AM_1 = MM_1\) і \(AB + AC = 2AD\), отримаємо:

\( \frac{MM_1}{MD} = \frac{2AD}{BC} \)

Задано, що \(MM_1 = 5\), тому можемо виразити \(MD\):

\( MD = \frac{2AD \cdot MM_1}{BC} \)

Знаємо, що \(AA_1 = 3\), \(BB_1 = 8\), і \(AM_1 = MM_1 = 5\). Також, оскільки \(AM_1 = MM_1\), то \(AD = 2 \cdot AM_1 = 2 \cdot 5 = 10\).

Підставимо відомі значення:

\( MD = \frac{2 \cdot 10 \cdot 5}{BC} \)

Тепер потрібно знайти довжину відрізка СС1. Враховуючи, що \(CC_1\) - це проекція відрізка \(MD\) на площину \(\alpha\), можна використати подібні трикутники:

\( \frac{CC_1}{MD} = \frac{C_1B_1}{BB_1} \)

Враховуючи, що \(BB_1 = 8\) і знайшовши \(MD\), ми можемо розрахувати \(CC_1\).