Question

Здравствуйте, сложные задачи по алгебре, помогите кто нибудь решить задачу пожалуйста , скиньте пример хотябы или посоветуйте как решить ​, пункт б

Answer 1

Ответ:

343 решений.

Объяснение:

Напомним, что $Z_7 -$ это поле остатков при делении на 7; оно состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если, скажем, складываются числа 4 и 5, то надо писать не 9, а 2, если перемножаешь 2 и 4, то надо писать не 8, а 1; поэтому элементом, обратным к 2, является 4. Напишем ради интереса обратные ко всем ненулевым элементам:

          $1^{-1}=1;\ 2^{-1}=4;\ 3^{-1}=5;\ 4^{-1}=2;\ 5^{-1}=3;\ 6^{-1}=6.$

Напишем для коллекции и противоположные ко всем элементам:

       $-0=0;\ -1=6;\ -2=5;\ -3=4;\ -4=3;\ -5=2;\ -6=1.$

Поэтому при желании мы можем в системе заменить, скажем, коэффициент минус шесть на 1, минус 5 на два. Такие вещи мы будем делать без объяснений. Будем решать систему обычным методом Гаусса. Из технических соображений я не рисую черту, отделяющую основную матрицу коэффициентов от столбца свободных членов. Имеем

$\begin{pmatrix}3&1&-4&-6&3&2\\ 1&2&-3&1&-5&-1\\ 4&-3&-1&1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&1&3&1&3&2\\ 1&2&-3&1&2&-1\\ 4&-3&-1&1&0&0\end{pmatrix}.$

Для упрощения 5-го столбца добавим ко второй строчке учетверенную первую:

                         $\begin{pmatrix}3&1&3&1&3&2\\ -1&-1&2&-2&0&0\\ 4&-3&-1&1&0&0\end{pmatrix}.$

Добавим ко второй строчке удвоенную третью, а из первой вычтем третью:

                            $\begin{pmatrix}-1&-3&4&0&3&2\\ 0&0&0&0&0&0\\ 4&4&-1&1&0&0\end{pmatrix}.$  

Базисные переменные w и t. Чтобы сделать козффициент при t равным 1, домножим первую строчку на 5. Нулевую строчку отбросим:

                             $\begin{pmatrix}2&-1&-1&0&1&3\\ 4&4&-1&1&0&0\end{pmatrix}.$

Получили систему

                            $\left \{ {{2x-y-z+t=3} \atop {4x+4y-z+w=0}} \right.;\ \left \{ {{t=-2x+y+z+3} \atop {w=3x+3y+z}} \right. .$

Свободные переменные x, y, z; пусть

    $x=C_1, y=C_2, z=C_3\Rightarrow w=3C_1+3C_2+C_3;\ t=5C_1+C_2+C_3+3;$

 $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_1\\C_2\\C_3\\3C_1+3C_2+C_3\\5C_1+C_2+C_3+3\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\3\\5\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\3\end{pmatrix}.$

Каждая из произвольных постоянных может принимать 7 значений, поэтому мы имеем $7^3=343$ решений.