Question

Решите уравнение с параметр$\sqrt{x+6} -m= \sqrt{x-3}$

Answer 1

Ответ:

При $m\in(0;\ 3]$ : $x=\dfrac{81-6m^2+m^4}{4m^2}$; при $m\notin(0;\ 3]$ : нет корней

Решение:

$\sqrt{x+6} -m= \sqrt{x-3}$

Запишем уравнение в виде:

$\sqrt{x+6}-\sqrt{x-3}=m$

Так как при любых значениях $x$ справедливо неравенство $x+6 > x-3$, а функция квадратного корня возрастает на всей области определения, то $\sqrt{x+6} > \sqrt{x-3}$. Тогда, $\sqrt{x+6}-\sqrt{x-3} > 0$. Соответственно, уравнение может иметь корни только при $m > 0$.

Теперь перепишем уравнение так, чтобы в левой и правой части были записаны неотрицательные выражения:

$\sqrt{x+6}=\sqrt{x-3}+m$

Возведем обе части в квадрат:

$\big(\sqrt{x+6}\big)^2=\big(\sqrt{x-3}+m\big)^2$

$x+6=x-3+m^2+2m\sqrt{x-3}$

$2m\sqrt{x-3}=6+3-m^2$

$2m\sqrt{x-3}=9-m^2$

$\sqrt{x-3}=\dfrac{9-m^2}{2m}$

Квадратный корень может принимать только неотрицательные значения. Поскольку из ранее полученного условия $m > 0$ следует, что знаменатель правой части положителен, то числитель должен быть неотрицательным. Составим систему из соответствующего условия и ранее полученного условия:

$\begin{cases} 9-m^2\geqslant 0\\ m > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} m^2\leqslant9 \\ m > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} |m|\leqslant3 \\ m > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} m\in[-3;\ 3] \\ m > 0 \end{cases}$

$m\in(0;\ 3]$

Значит, последнее уравнение будет иметь корни только при  $m\in(0;\ 3]$. Решаем уравнение при этом условии. Вновь возведем обе части в квадрат:

$\left(\sqrt{x-3}\right)^2=\left(\dfrac{9-m^2}{2m}\right)^2$

$x-3=\dfrac{9^2-2\cdot9\cdot m^2+(m^2)^2}{(2m)^2}$

$x=3+\dfrac{81-18m^2+m^4}{4m^2}$

$x=\dfrac{12m^2+81-18m^2+m^4}{4m^2}$

$x=\dfrac{81-6m^2+m^4}{4m^2}$

Таким образом, при $m\in(0;\ 3]$ уравнение имеет единственный корень $\dfrac{81-6m^2+m^4}{4m^2}$, при прочих значениях $m$ - уравнение не имеет корней.