Question

4. Решите уравнение: x² - 3|x| - 4 = 0 ​

Answer 1

Ответ:

$x\in\{4, -4\}$

Объяснение:

Заменим это уравнение на два других, которые не будут иметь знака модуля (мы используем то, что $\left \{ {{|x|=x, x\geq0} \atop {|x|=-x, x\leq0}} \right.$):

$x^2-3x-4=0, x\geq0\\x^2+3x-4=0, x\leq0$

Теперь я предлагаю разложить на множители многочлен $x^2-3x-4$:

$x^2-3x-4=x^2-3x+2.25-6.25=(x-1.5)^2-2.5^2=(x-1.5-2.5)(x-1.5+2.5)=(x-4)(x+1)$.

Известно, что при замене знака "среднего" одночлена (в нашем случае $3x$) на противоположный, числовая часть множителей также поменяет знак (например, $x-4$ превратится в $x+4$).

Следовательно, $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$ .

Мы знаем, что произведение двух чисел равно 0 тогда и только тогда, когда одно из них равно 0. Следовательно, корнями первого уравнения являются числа $4$ и $-1$, а корнями второго являются числа $-4$ и $1$.

Однако у первого уравнения мы отбрасываем отрицательные корни, а у второго положительные, как было написано выше.

То есть, окончательный ответ будет $x\in\{4, -4\}$.

На основе этих рассуждений мы можем сформулировать правило:

Если число $n$ является положительным корнем уравнения $x^2+ax+b=0$, то числа $n$ и $-n$ будут корнями уравнения $x^2+a|x|+b=0$.