Question

Решите в натуральных числах уравнение $3^x+4^y=5^z$.

Answer 1

Утверждение 1: $x$ и $z$ четные

Доказательство: рассмотрим сравнение по модулу 3

$3^x+4^y \equiv 5^z \bmod 3 \Rightarrow (-1)^z \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow z \;$ - чётное

И тоже самое, только по модулю 4

$3^x+4^y \equiv 5^z \bmod 4 \Rightarrow (-1)^x \equiv 1 \bmod 4 \Rightarrow x \; \text{четное}$ - чётное

Следовательно, $x=2m$ и $z=2n$, тогда наше уравнение становится

$9^m+4^y=25^n$

Утверждение 2: $5^n=3^m+2$ верно.

Доказательство: разложим $25^n-9^m$ и воспользуемся тем, что $y > 1$, в противном случае решений нет. Заметим, что $4^y$ кратно $16$, поэтому

$4^y=(5^n+3^m)(5^n-3^m) \Rightarrow 5^n-3^m=2 \Rightarrow 5^n-3^m \not\equiv 0 \pmod 4$

Заменим $25^n=9^m+4 \cdot 3^m+4$ на заданный диофант $4^{y-1}=3^m+1$

Утверждение 3: Единственное значение - $(2,2,2)$

Доказательство: Подставим с обеих сторон в уравнение $v_3$

$v_3(4^{y-1}-1)=1+v_3(y-1)=m \Rightarrow m-1=v_3(y-1)\implies y=3^{m-1} \cdot a+1, a \not\equiv 0 \pmod 3$

Случай 1: $y=4$. Отсюда видно, что $a=1$ и $m=2$, поэтому $x=4$. Заменив на диофант, получим $81+256=337=5^z$ противоречие!

Случай 2: $y \ne 4$. $4^{y-1}-1$ имеет простой множитель, такой что $p \ne 3$. Предположим, что $m > 1$. Теперь разделим на $3$ обе стороны

$3^{m-1}=\cfrac{4^{y-1}-1}{3} \equiv 0 \bmod p$

Получили противоречие

Итак, мы имеем, что $m=1$, а из этого следует $x=2$ и $y=2$. А значит $(x,y,z)=(2,2,2)$ - единственное натуральное решение

Answer 2

Ответ:

$x=2, y=2, z=2$

Объяснение:

Давайте рассмотрим остатки от деления на 3.

Поскольку $3^x$ делится на 3, получим, что $4^y\equiv5^z(\text{mod } 3)$. Однако $4\equiv1(\text{mod }3)$, следовательно, $4^y\equiv1(\text{mod }3)$ при любых натуральных $y$.

Отсюда $5^z\equiv1(\text{mod }3)$. Это возможно тогда и только тогда, когда $z$ чётное число. Поскольку $4^y=(2^2)^y=2^{2y}$, имеем $5^{2k}-2^{2y}=3^x$, где $k=\frac{z}{2}$.

Разложим левую часть на множители:

$5^{2k}-2^{2y}=(5^k)^2-(2^y)^2=(5^k-2^y)(5^k+2^y)$

Поскольку эти числа являются целыми, а в правой части у нас степень тройки, то оба эти числа также являются степенями тройки, и мы получаем $\left \{ {{5^k-2^y=3^{x'}} \atop {5^k+2^y=3^{x''}}} \right.$.  Отнимем эти уравнения и получим $5^k+2^y-(5^k-2^y)=3^{x''}-3^{x'}\rightarrow2^{y+1}=3^{x'}(3^{x''-x'}-1)$. То есть, оба множителя в правой части являются степенями двойки. Единственное число, которое является и степенью тройки, и степенью двойки, это 1, следовательно, имеем $x'=0$, а $2^{y+1}=3^{x''}-1$.

Доказано, что две степени могут отличаться на единицу, либо когда показатель одной из них равен 1, либо когда это 8 и 9. Оба варианта нам подходят, следовательно:

1)

$x''=1, y+1=1\rightarrow y=0\rightarrow y\notin\mathbb{N}\rightarrow$ этот вариант не подходит, т.к. уравнение надо решать в натуральных числах;

2)

$x''=2, y+1=3 \rightarrow x''=2, y=2\rightarrow x=x''+x'=2+0=2, y=2\rightarrow z=\log_5(3^x+4^y)=\log_525=2 \rightarrow (x,y,z)=(2,2,2)$

То есть, у этого уравнения есть единственный корень $x=2, y=2, z=2$.