Question

Найти все корни уровнение и записать решение

Answer 1

$3\,x^{4}+2\,x^{3}-12\,x^{2}+15\,x-13=0\Leftrightarrow x^{4}+\dfrac{2\,x^{3}}{3}-4\,x^{2}+5\,x-\dfrac{13}{3}=0$

$x=u-\frac{1}{6}\Rightarrow 5\,\left(u-\dfrac{1}{6}\right)+\left(u-\dfrac{1}{6}\right)^{4}+\dfrac{2\,\left(u-\dfrac{1}{6}\right)^{3}}{3}-4\,\left(u-\dfrac{1}{6}\right)^{2}-\dfrac{13}{3}=0$

$u^{4}-\dfrac{25\,u^{2}}{6}+\dfrac{172\,u}{27}-\dfrac{2281}{432}=0\Leftrightarrow \left(u^{2}+v\right)^{2}+\left(-2\,v-\dfrac{25}{6}\right)\,u^{2}+\dfrac{172\,u}{27}-\dfrac{2281}{432}-v^{2}=0$

$-v^{2}-\dfrac{7396}{729\,\left(-2\,v-\dfrac{25}{6}\right)}-\dfrac{2281}{432}=0\Leftrightarrow \dfrac{\left(-v^{2}-\dfrac{2281}{432}\right)\,\left(-2\,v-\dfrac{25}{6}\right)-\dfrac{7396}{729}}{-2\,v-\dfrac{25}{6}}=0$

$2\,v^{3}+\dfrac{25\,v^{2}}{6}+\dfrac{2281\,v}{216}+\dfrac{276553}{23328}=0\overset{t=36v}{\Leftrightarrow }t^3+75t^2+6843t+276553=0$

$y=t+25\Rightarrow y^3+4968y+136728=0$

$y=z-\frac{1656}{z}\Rightarrow z^6+z^4(-3\cdot 1656+4968)+136728z^3+z^2(3\cdot 1656-4968\cdot 1656)-1656^3=0$

$u=z^3\Rightarrow u^2+136728u-4541308416=0\Rightarrow u=\pm 108\sqrt{790033}-68364$

$z=\sqrt[3]{\pm 108\sqrt{790033}-68364}$

Подставляя дальше, мы получим корни нашего уравнения