Question

Решите неравенство cos(x+P/4) ≤ √2/2

Answer 1

Ответ:

$\tt x \in \bigg (2 \cdot \pi \cdot n; \dfrac{3 \cdot \pi }{2} +2 \cdot \pi \cdot n\bigg ), \; n \in Z$

Объяснение:

Требуется решить неравенство $\tt cos(x+\dfrac{\pi }{4} )\leq \dfrac{\sqrt{2} }{2}$.

Информация. Решение уравнения:

$\tt cos \bigg (x+\dfrac{\pi }{4} \bigg ) = \dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\ x_1+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4} +2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z, \;\;\;\; x_2+\dfrac{\pi }{4}= \dfrac{7 \cdot \pi }{4} +2 \cdot \pi \cdot m, m \in Z \\\\ x_1=2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z, \;\;\;\; x_2= \dfrac{3 \cdot \pi }{2} +2 \cdot \pi \cdot m, m \in Z.$

Решение. Рассмотрим графики функций (см. рисунок):

$\tt y_1=cos \bigg (x+\dfrac{\pi }{4} \bigg ), \;\;\; y_2 = \dfrac{\sqrt{2} }{2} .$

Неравенству y₁ ≤ y₂, то есть

$\tt cos(x+\dfrac{\pi }{4} )\leq \dfrac{\sqrt{2} }{2}$

удовлетворяют значения переменной

$\tt x \in \bigg (0; \dfrac{3 \cdot \pi }{2} \bigg ).$

Теперь если учесть периодичность косинуса, то получим

$\tt x \in \bigg (0+2 \cdot \pi \cdot n; \dfrac{3 \cdot \pi }{2} +2 \cdot \pi \cdot n\bigg ), \; n \in Z$

или окончательно

$\tt x \in \bigg (2 \cdot \pi \cdot n; \dfrac{3 \cdot \pi }{2} +2 \cdot \pi \cdot n\bigg ), \; n \in Z$.

#SPJ1