Question

Докажите, что параллельный перенос переводит квадрат в равный ему квадрат.​

Answer 1

Ответ:

Параллельный перенос не изменяет расстояния между точками и сохраняет параллельность. Пусть у нас есть квадрат с вершинами A, B, C и D, и мы совершаем параллельный перенос этого квадрата на вектор (a, b). Обозначим новые вершины через A', B', C' и D'.

Теперь, рассмотрим стороны квадрата. Вектор (a, b) добавляется к координатам каждой из вершин. Если изначально длина стороны квадрата равна s, то после параллельного переноса длина стороны останется такой же, так как координаты всех вершин увеличатся на одинаковое число.

Таким образом, оба квадрата будут иметь равные стороны, и следовательно, они будут равными. Таким образом, параллельный перенос переводит квадрат в равный ему квадрат.

Answer 2

Для доказательства рассмотрим квадрат ABCD и предположим, что точка A’ получена из точки A посредством параллельного переноса на вектор ⃗a (т.е. A’ = A + ⃗a).

Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, то AB = A’B, BC = B’C, CD = C’D и DA = D’A.

Рассмотрим четырехугольник A’B’C’D’. Так как A’B = AB, B’C = BC, C’D = CD и D’A = DA, то A’B’, B’C’, C’D’ и D’A’ являются сторонами квадрата A’B’C’D’, равными сторонам квадрата ABCD.

Кроме того, так как A’D’ = AD и ∠A’ = ∠A, то A’D’B’ — параллелограмм, а значит, A’B’D’C’ — прямоугольник. Следовательно, A’B’C’D’ — квадрат, равный квадрату ABCD.