Question

Вопрос 8 и 10,помогите!

Answer 1

Завдання 8:

$\displaystyle \\y = \frac{3x-3}{\sqrt{6x^2-11x+5} }$

При знаходженні області визначення треба пам'ятати два правила: корінь має бути невід'ємним (тобто ≥ 0), а знаменник не повинен дорівнювати 0. Оскільки корінь знаходиться в знаменнику, то працюють обидва правила, і відповідно корінь повинен бути ТІЛЬКИ більше за нуль:

$6x^2-11x+5 > 0$

Це квадратна нерівність. Щоб її вирішити, необхідно визначити критичні точки (в даному випадку Дискримінантом) і скористатися методом інтервалів:

$\displaystyle 6x^2-11x+5=0\\D=b^2-4ac=(-11)^2-4*6*5=121-120=1\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{11+1}{2*6} =\frac{12}{12} =1\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{11-1}{2*6} =\frac{10}{12} =\frac{5}{6}$

Зазначу точки (1, 5/6) на координатній прямій, братиму числа з проміжків між ними, та підставлятиму в квадратне рівняння, дивлячись додатнє число, чи від'ємне:

З проміжка (1; +∞) візьму число 2:

$6*2^2-11*2+5=24-22+5=7 > 0$

З проміжка (5/6; 1) візьму число 9/10:$\displaystyle 6*(\frac{9}{10})^2 -11*\frac{9}{10} +5=6*\frac{81}{100} -\frac{99}{10} +5=\frac{243}{50} -\frac{495}{50} +\frac{250}{50} =-\frac{2}{50} =-\frac{1}{25} < 0$

З проміжка (-∞; 1) візьму число 0:

$6*0^2-11*0+5=5 > 0$

Будую координатну пряму і де отримали від'ємне число ставлю мінуси, де додатнє - плюси:

$\displaystyle +++++(\frac{5}{6} )-----(1)+++++$

Повертаючись до початкової квадратної нерівності потрібно подивитися на знак. Оскільки там стоїть >, то потрібно шукати проміжки з додатними значеннями, тобто там, де стоять плюси. Ці проміжки і запишу у відповіді:

$\displaystyle D(y)\in(-\infty;\frac{5}{6} )\cup(1 ;+\infty)$

Завдання 10:

$(x^2-1)(3x-2x^2+5)\geq 0$

Для вирішення потрібно прирівняти кожну дужку (множник) до нуля і знайти критичні точки:

$\displaystyle x^2-1=0\\x^2=1\\x_1 = 1, \ x_2=-1\\\\3x-2x^2+5=0\\-2x^2+3x+5=0\\D=b^2-4ac=3^2-4*(-2)*5=9+40=49\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a}=\frac{-3+7}{2*(-2)}=\frac{4}{-4} =-1\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}=\frac{-3-7}{2*(-2)}=\frac{-10}{-4} =2.5$

Зазначу точки (1, -1, 2.5) на координатній прямій, і братиму числа з проміжків між ними, та підставлятиму в квадратне рівняння, дивлячись додатнє число, чи від'ємне:

З проміжка [2.5; +∞) візьму число 3:

$(3^2-1)(3*3-2*3^2+5)=(9-1)*(9-18+5)=8*(-4)=-32 < 0$

З проміжка [1; 2.5] візьму число 2:

$(2^2-1)(3*2-2*2^2+5)=(4-1)(6-8+5)=3*3=9 > 0$

З проміжка [-1; 1] візьму число 0:

$(0^2-1)(3*0-2*0^2+5)=-1*5=-5 < 0$

З проміжка (-∞; -1] візьму число -2:

$((-2)^2-1)(3*(-2)-2*(-2)^2+5)=3*(-6-8+5)=3*(-9)=-27 < 0$

Будую координатну пряму і де отримали від'ємне число ставлю мінуси, де додатнє - плюси:

$-----[-1]-----[1]+++++[2.5]-----$

Повертаючись до початкової квадратної нерівності потрібно подивитися на знак. Оскільки там стоїть ≥, то потрібно шукати проміжки з додатними значеннями, тобто там, де стоять плюси. Ці проміжки і запишу у відповіді:

$x\in[1;2.5]$

Також додав більш зрозуміле позначення інтервалів (див. фото)