Question

(Даю 50 баллов )В невыпуклом четырехугольнике АВСД продолжение стороны ВС за точку С пересекает сторону АД в точке F так, что АF:FД-5:4, точка С-середина отрезка BF. Найдите площадь четырехугольника АВСД если площадь треугольника РСД равна 20 см2

Answer 1

Ответ:

Площадь ABCD равна 70 см².

Объяснение:

В невыпуклом четырехугольнике АВСD продолжение стороны ВС за точку С пересекает сторону АD в точке F так, что АF:FD=5:4, точка С-середина отрезка BF. Найдите площадь четырехугольника АВСD, если площадь треугольника FСD равна 20 см².

Дано: ABCD - невыпуклый четырехугольник;

ВС ∩ AD = F;   AF : FD = 5 : 4;

BC = CF;   S(FCD) = 20 см².

Найти: S(ABCD)

Решение:

Проведем ВН ⊥ AD;   CT ⊥ AD.

Рассмотрим ΔНВF - прямоугольный.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒   ВН || CT.

BC = CF (условие)

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒   СТ - средняя линия ΔНВF.

• Средняя линия равна половине стороны, которую она не пересекает.

Пусть СТ = h   ⇒   BH = 2h

AF : FD = 5 : 4

Пусть AF = 5x,   тогда FD = 4x

Рассмотрим ΔFCD.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

$\displaystyle S(FCD)=\frac{1}{2}FD\cdot CT\\\\20=\frac{1}{2}\cdot 4x\cdot h\\ \\4x=\frac{20\cdot 2}{h} \;\;\;\;\;|:4\\\\x=\frac{10}{h}$

⇒   $\displaystyle AF=\frac{50}{h}$

Рассмотрим ΔABF.

$\displaystyle S(ABF)=\frac{1}{2}AF\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot \frac{50}{h}\cdot 2h=50\;_{(CM^2)}$

S( ABCD) = S(FCD) + S(ABF) = 20 + 50 = 70 (см²)

#SPJ1

Answer 2

Ответ:  70

Объяснение:

Отношение площадей  треугольников  с  равными высотами  равно   отношению сторон , к  которым эти высоты  проведены