Question

В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого образует с плоскостью основания угол ф. Это сечение пересекает основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна а, 0° < а < 180°. Найдите площадь сечения, если радиус основания цилиндра равен R.

пожалуйста, помогите

Answer 1

Ответ:

Площадь сечения равна  R²tg φ (2 - 2cos α) ед².

Объяснение:

В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого образует с плоскостью основания угол φ. Это сечение пересекает основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна α, 0° < α < 180°. Найдите площадь сечения, если радиус основания цилиндра равен R.

Дано: цилиндр;

ABCD - сечение; ABCD || OE;

АС - диагональ; ∠CAD = φ;

R - радиус основания;

◡AD = α;   0 < α < 180°

Найти: S(ABCD)

Решение:

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠AOD = α

Рассмотрим ΔAOD - равнобедренный (OA = OD = R)

Найдем AD по теореме косинусов:

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

⇒   AD² = OA² + OD² - 2OA · OD · cos α

AD² = R² + R² - 2R² cos α = R²(2 - 2cos α)

⇒   $AD=R\sqrt{2-2cos\;\alpha }$

Рассмотрим ΔACD - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\;\phi=\frac{CD}{AD} \\\\CD=AD\cdot tg\;\phi=R\;tg\;\phi\;\sqrt{2-2cos\;\alpha }$

• Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

S(ABCD) = AD · CD = $R\sqrt{2-2cos\;\alpha }\cdot R\;tg\;\phi\;\sqrt{2-2cos\;\alpha } =R^2tg\;\phi(2-2cos\;\alpha )$

#SPJ1