Question

Помогите вычислить предел. Расписать решение

Answer 1

Видимо, мало кто знает, что означает в степени +5 и что каждый предел будет равен единички, так как коэффициенты перед x единицы

$\lim_{x\to{\infty}}{\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^{2\,x+3}}=\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)^{2\,x+3}}=\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)^{\left(x-1\right)\,2+5}}=$

$=\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)^{\left(x-1\right)\,2}}\cdot$

$\cdot \underbrace{\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)}}_{1}\underbrace{\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)}}_{1}\underbrace{\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)}}_{1}\underbrace{\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)}}_{1}\underbrace{\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)}}_{1}$

$\lim_{x\to{\infty}}{\left(1+\dfrac{1}{x-1}\right)^{\left(x-1\right)\,2}}=e^2$

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle e^2$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \lim_{x\to{\infty}}\left(\frac{x}{x-1}\right)^{2x+3}=\lim_{x\to{\infty}}\left(\frac{x-1+1}{x-1}\right)^{2x+3}=\\\\\lim_{x\to{\infty}}\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)^{2x+3}=\lim_{x\to{\infty}}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{2x+3}=\\\\\lim_{x\to{\infty}}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{2x-2+5}=\lim_{x\to{\infty}}\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{2(x-1)+5}=$

$\displaystyle \lim_{x\to{\infty}} \left(\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{2(x-1)}\cdot \left(1+\frac{1}{x-1}\right)^5\right) =\\\\\lim_{x\to{\infty}} \left(\left(\left(1+\frac{1}{x-1}\right)^{(x-1)}\right)^2\cdot \left(1+\frac{1}{x-1}\right)^5\right) =e^2\cdot 1=e^2$