СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА У МЕНЯ 20 МНИ ДАЮ 100 балов
доведіть через (через конгруентність) що при будь якому натуральному значенні n значення виразу 17^n+25•4^n кратне 13
Ответы
Ответ:
Щоб довести, що вираз
1
7
�
+
25
⋅
4
�
17
n
+25⋅4
n
кратний 13, можемо використати конгруентність за модулем 13.
Маємо два члени виразу:
1
7
�
17
n
- подамо його залишок від ділення на 13 через конгруентність.
25
⋅
4
�
25⋅4
n
- також виразимо його залишок від ділення на 13.
Спочнемо з першого члена:
1
7
�
≡
4
�
(
m
o
d
13
)
17
n
≡4
n
(mod13)
Це випливає з того, що
17
≡
4
(
m
o
d
13
)
17≡4(mod13) (оскільки 17 менше, ніж на 13, ніж 4).
Тепер для другого члена:
25
⋅
4
�
≡
(
−
1
)
⋅
4
�
(
m
o
d
13
)
25⋅4
n
≡(−1)⋅4
n
(mod13)
Це випливає з того, що
25
≡
(
−
1
)
(
m
o
d
13
)
25≡(−1)(mod13).
Тепер давайте об'єднаємо ці результати:
17+25⋅4≡+(
)
17
n
+25⋅4
n
≡4
n
+(−1)⋅4
n
(mod13)
Спростимо вираз:
4
+
(
−
1
)
⋅
4
�
=
0
4
n
+(−1)⋅4
n
=0
Отже,
1
7
�
+
25
⋅
4
�
17
n
+25⋅4
n
кратне 13 за модулем, що доводить твердження через конгруентність.
Я пернул