Дан прямоугольный треугольник PRS, стороны PR и RS равны 9 см и 12 см соответственно. На кривой RS выбирается точка Т так, чтобы ее расстояние от точки R и гипотенузы PS было равным.
1. Сделайте чертеж и введите данные на чертеже. 2. Вычислите длину отрезка TR.
3. Вычислить длину окружности ДПРС. 4. Вычислить площадь внутреннего круга ДПРС.
2. Длины двух сторон треугольника равны 5 см и 8 см. Угол между ними составляет 60°. Вычислите периметр, площадь и наибольший угол треугольника.
3. Одна сторона треугольника равна 10 см, а прилежащие к ней углы равны 42° и 27°. Найдите площадь треугольника, минимальную высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей.
4. Найти площадь кольца между внутренней и описанной окружностью равностороннего треугольника, если сторона треугольника равна р.
5. Равнобедренный треугольник имеет основание 8 см и сторону 12 см. Линия, параллельная рукоятке, делит 3 ̧1 относительно основания. Вычислите периметр полученной трапеции и площадь данного равнобедренного треугольника.
6. Отношение площадей двух подобных треугольников равно 2,25. Площадь большего треугольника равна 67,5 см2, медиана меньшего треугольника – 6,5 см, периметр – 30 см. Вычислите площадь меньшего треугольника, медиану и периметр большего треугольника.
7. Длина катета равнобедренного треугольника равна 2 см, угол при вершине 120°. Вычислите длину описанной окружности этого треугольника.
8. Основание равнобедренного треугольника равно 3 дм, радиус внутренней окружности 10 см. Вычислите стороны этого треугольника и отношение площади треугольника к площади вписанной в него окружности.
Ответы
Ответ:
**1. Прямоугольный треугольник PRS:**
- Стороны: \(PR = 9 \, \text{см}\), \(RS = 12 \, \text{см}\)
- Рисуем треугольник, выбираем точку \(T\) на \(RS\) так, чтобы ее расстояние до \(R\) и гипотенузы \(PS\) было равным.
- Вычисляем длину отрезка \(TR\): \(TR\) — половина гипотенузы, т.е. \(TR = \frac{1}{2} \times PS\).
- Длина отрезка \(TR\) равна половине гипотенузы, то есть \(TR = \frac{1}{2} \times 15 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}\).
**2. Окружность DPSC:**
- Вычисляем длину окружности \(DPSC\): \(C = 2\pi \times \text{Радиус}\).
- Радиус \(DPR\) равен половине гипотенузы, т.е. \(R_{DPR} = \frac{1}{2} \times 15 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}\).
- Длина окружности \(DPSC\) равна \(C = 2\pi \times 7.5 \, \text{см} \approx 15\pi \, \text{см}\).
**3. Площадь внутреннего круга DPRS:**
- Площадь вписанного круга \(S_{DPRS} = \pi \times (\text{Радиус})^2\).
- Радиус вписанного круга равен половине суммы катетов, т.е. \(R_{DPRS} = \frac{1}{2} \times (9 + 12) \, \text{см} = 10.5 \, \text{см}\).
- Площадь внутреннего круга DPRS равна \(S_{DPRS} = \pi \times (10.5)^2 \, \text{см}^2\).
**4. Второй треугольник:**
- Стороны: \(a = 5 \, \text{см}\), \(b = 8 \, \text{см}\), угол между ними \(60^\circ\).
- Вычисляем периметр: \(P = a + b + c\), где \(c\) найдем по теореме косинусов.
- Вычисляем площадь: \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\text{угол между ними})\).
- Находим наибольший угол с использованием тригонометрических функций.
**5. Третий треугольник:**
- Сторона: \(c = 10 \, \text{см}\), углы прилежащие: \(42^\circ\) и \(27^\circ\).
- Вычисляем площадь, минимальную высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей.
**6. Подобные треугольники:**
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон.
- Используем данное отношение для вычисления площади меньшего треугольника.
- Зная медиану меньшего треугольника, вычисляем стороны и периметр большего треугольника.
**7. Равнобедренный треугольник:**
- Длина катета: \(2 \, \text{см}\), угол при вершине: \(120^\circ\).
- Вычисляем длину описанной окружности.
**8. Вписанная окружность:**
- Основание равнобедренного треугольника: \(3 \, \text{дм}\), радиус внутренней окружности: \(10 \, \text{см}\).
- Вычисляем стороны треугольника и отношение площадей треугольника к вписанной в него окружности.
К сожалению, я не могу создавать изображения или чертежи в текстовом формате. Однако, я предоставил шаги для решения каждой задачи. Если у вас есть конкретные вопросы по какой-то из задач, я готов помочь в их решении или пояснении.