Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ
Доказать, что при любом натуральном k, 2*7^k + 1 кратно 3
Пжжжж​

Answer 1

Ответ: решение ниже

Пошаговое объяснение:

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:

Базовый шаг: При k = 1, имеем 2*7^1 + 1 = 15, что является кратным 3.

Предположение индукции: Пусть утверждение верно для k = n, т.е. 2*7^n + 1 кратно 3.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для k = n+1. Рассмотрим выражение 2*7^(n+1) + 1:

2*7^(n+1) + 1 = 2*7^n * 7 + 1 = (2*7^n + 1) * 7.

По предположению индукции, 2*7^n + 1 кратно 3, значит, оно может быть записано в виде (3*m), где m - целое число.

Тогда (2*7^n + 1) * 7 = (3*m) * 7 = 3 * (7m), что также является кратным 3.

Мы доказали, что если утверждение верно для k = n, то оно верно и для k = n+1.

Answer 2

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Доказательство:

Доказательство проводится методом математической индукции.

Основной шаг:

Для k = 1, имеем:

2 * 7^1 + 1 = 15

15 кратно 3, так как 15 = 3 * 5.

Переходный шаг:

Пусть утверждение верно для некоторого натурального k. Тогда:

2 * 7^k + 1 = 3m,

где m - натуральное число.

Тогда:

2 * 7^{k + 1} + 1 = 2 * 7 * 7^k + 1 = 2 * 7 * (3m + 1) = 14m + 14 = 12m + 2m + 14 = 3(4m + 4) + 1.

Таким образом, утверждение верно и для k + 1.

Заключение:

По условию математической индукции, утверждение верно для всех натуральных k.

Итог:

При любом натуральном k, 2*7^k + 1 кратно 3.

Доказательство другим способом:

2 - это нечетное число, а 7 - простое четное число. Таким образом, 2*7^k - четное число, которое делится на 2.

Кроме того, 7^k - натуральное число, которое делится на 3 или не делится на 3.

Если 7^k делится на 3, то 2*7^k + 1 - четное число, которое делится на 2 и на 3, то есть кратно 3.

Если 7^k не делится на 3, то 2*7^k + 1 - четное число, которое делится на 2 и на 7.

В любом случае, 2*7^k + 1 кратно 3.