З’ясувати при яких значеннях параметра р сума коренів квадратного
рівняння
x^2 + px + p – 1 = 0 є найменшою?
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Давайте розглянемо квадратне рівняння
�
2
+
�
�
+
�
−
1
=
0
x
2
+px+p−1=0.
Спочатку знайдемо його корені. Ми можемо скористатися формулою дискримінанту для квадратного рівняння:
Δ
=
�
2
−
4
�
�
Δ=b
2
−4ac, де
�
a,
�
b і
�
c - це коефіцієнти квадратного рівняння
�
�
2
+
�
�
+
�
=
0
ax
2
+bx+c=0.
У нашому випадку:
�
=
1
a=1,
�
=
�
b=p,
�
=
�
−
1
c=p−1.
Тепер, обчислимо дискримінант:
Δ
=
�
2
−
4
(
1
)
(
�
−
1
)
Δ=p
2
−4(1)(p−1).
Δ
=
�
2
−
4
�
+
4
Δ=p
2
−4p+4.
Δ
=
�
2
−
4
�
+
4
Δ=p
2
−4p+4.
Корені рівняння
�
2
+
�
�
+
�
−
1
=
0
x
2
+px+p−1=0 обчислюються за формулою:
�
=
−
�
±
Δ
2
�
x=
2a
−b±
Δ
.
Отже, корені цього рівняння:
�
=
−
�
±
�
2
−
4
�
+
4
2
x=
2
−p±
p
2
−4p+4
�
=
−
�
±
(
�
−
2
)
2
x=
2
−p±(p−2)
�
=
−
�
+
�
−
2
2
x=
2
−p+p−2
або
�
=
−
�
−
�
+
2
2
x=
2
−p−p+2
.
Таким чином, корені рівняння
�
2
+
�
�
+
�
−
1
=
0
x
2
+px+p−1=0 є
�
=
1
x=1 та
�
=
−
1
x=−1 при будь-якому значенні параметра
�
p.
Але нас цікавить сума коренів:
�
1
+
�
2
=
1
+
(
−
1
)
=
0
x
1
+x
2
=1+(−1)=0.
Сума коренів завжди буде рівною 0 незалежно від значення параметра
�
p.
Отже, сума коренів квадратного рівняння
�
2
+
�
�
+
�
−
1
=
0
x
2
+px+p−1=0 завжди дорівнює 0 і не залежить від значення параметра
�
p.