БЕЗУМНО СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!
Скільки цілих від’ємних розв’язків має нерівність 3x²+5x-8<0 ?
2) (Бали: 3)
При яких значеннях а нерівність ax²-2x+a<0 не має розв’язків?
3) (Бали: 3)
Знайдіть область визначення функції
f (x) = √-4x²+3x+1/x
4) (Бали: 3)
Для кожного значення а розв’яжіть систему нерівностей: {4x²-3x-1≤0, x
Вказівка: використовуйте результати, отримані у попередній задачі.
Ответы
Відповідь:
Для знаходження цілих від’ємних розв’язків нерівності 3x² + 5x - 8 < 0, можна використовувати метод добутків. Розкладемо коефіцієнти:
-8 = (-4) * 2
5 = (-4) + 2
Тепер вираз можна записати у вигляді: (3x - 4)(x + 2) < 0.
Розв'язками цієї нерівності будуть значення x, для яких або (3x - 4) = 0, або (x + 2) = 0.
Розв'язок (3x - 4) = 0 дає x = 4/3.
Розв'язок (x + 2) = 0 дає x = -2.
Тепер розглянемо інтервали між цими значеннями. Позначимо їхні кінці і проведемо вказівні знаки для кожного множника:
-2 | + - - +
4/3 - 0 + +
Тепер дивимося на інтервали з від'ємним значенням (менше нуля), які визначають розв'язок для всього виразу. Такими інтервалами є (-∞, -2) та (4/3, ∞). Отже, нерівність має розв'язки в цих інтервалах.
Нерівність ax² - 2x + a < 0 не має розв'язків, коли дискримінант квадратного тринома від'ємний. Дискримінант обчислюється за формулою D = b² - 4ac. У нашому випадку a = a, b = -2, c = a. Підставимо ці значення:
D = (-2)² - 4(a)(a) = 4 - 4a².
Для того, щоб нерівність не мала розв'язків, D повинно бути менше нуля: 4 - 4a² < 0. Розв'язок цієї нерівності буде областю значень a, для яких вона виконується.
4 - 4a² < 0
4a² > 4
a² > 1
|a| > 1
Отже, нерівність не має розв'язків при |a| > 1.
Область визначення функції f(x) = √(-4x² + 3x + 1)/x:
Знаменник не може дорівнювати нулю, тобто x ≠ 0. Далі, підкореневий вираз повинен бути не менше нуля, тобто -4x² + 3x + 1 ≥ 0. Розв'язок цієї нерівності визначить область визначення функції.
Для знаходження розв'язків використовуємо метод добутків або графічний метод. Розкладемо коефіцієнти:
-4x² + 3x + 1 = (x - 1)(-4x - 1).
Тепер розв'язуємо нерівність (x - 1)(-4x - 1) ≥ 0:
-4x - 1 = 0 ⇒ x = -1/4
x - 1 = 0 ⇒ x = 1
Визначимо знаки на інтервалах між і поза цими точками:
-∞ | + + - -
-1/4 0 + +
Отже, розв'язок нерівності -4x² + 3x + 1 ≥ 0: x ∈ (-∞, -1/4] ∪ [0, ∞), а область визначення функції f(x) = √(-4x² + 3x + 1)/x: x ∈ (-∞, -1/4) ∪ (0, ∞).
Для кожного значення a розв'язуємо систему нерівностей {4x² - 3x - 1 ≤ 0, x}. Використовуємо результати попередньої задачі:
a) При a < -1 нерівність 4x² - 3x - 1 ≤ 0 має розв'язок (-∞, -1/4]. Оскільки x може бути будь-яким, система має розв'язки при a < -1.
b) При a = -1 нерівність 4x² - 3x - 1 ≤ 0 має розв'язок (-∞, -1/4]. Однак, враховуючи умову x, ми бачимо, що x повинен бути додатнім (x > 0). Отже, система не має розв'язків при a = -1.
c) При -1 < a < 1
Пояснення: