Question

Первый член арифметической прогрессии, состоящий из пяти членов, равен 1, а сумма всех членов равна 1565. Первый и последний члены геометрической прогрессии, состоящие из пяти членов, равны соответствующим членам данной арифметической прогрессии. Найди третий член геометрической прогрессии.​

Answer 1

Ответ:

Третий член геометрической прогрессии равен 25

Решение:

Рассмотрим арифметическую прогрессию $\{a_n\}$. Запишем и преобразуем известные по условию соотношения:

$a_5=1$

$a_1+4d=1$

Сумма всех членов прогрессии (пяти) равна 1565:

$S_5=1565$

$\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=1565$

$5(a_1+2d)=1565$

$a_1+2d=313$

Вычтем из первого полученного соотношения второе:

$(a_1+4d)-(a_1+2d)=1-313$

$2d=-312$

$d=-156$

Находим первый член прогрессии:

$a_1=a_5-4d$

$a_1=1-4\cdot(-156)=625$

Рассмотрим геометрическую прогрессию $\{b_n\}$, в которой:

$b_1=a_1=625;\ b_5=a_5=1$

Так как $3+3=1+5$, то для геометрической прогрессии справедливо соотношение:

$b_3\cdot b_3=b_1\cdot b_5$

$b_3^2=b_1\cdot b_5$

$b_3=\sqrt{b_1\cdot b_5}$

Отметим, что третий член будет иметь такой же знак, как первый и третий, так как все четные и все нечетные члены геометрической прогрессии обязательно имеют один и тот же знак между собой.

$b_3=\sqrt{625\cdot 1}=\sqrt{625}=25$

Элементы теории:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$

Если $k+l=m+n$, то для геометрической прогрессии:

$b_k\cdot b_l=b_m\cdot b_n$