Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если вместо третьего числа поставить сумму трьёх чисел, а остальное оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найти заданные числа, если известно, что второе из них равно 6.
Ответы
Ответ:
Пусть первое число в арифметической прогрессии равно а, а разность прогрессии равна d. Тогда второе число будет равно а + d, а третье число будет равно а + 2d.
Заменим третье число суммой трех чисел: а + (а + d) + (а + 2d). Получим геометрическую прогрессию.
Таким образом, получаем следующее уравнение:
(а + (а + d) + (а + 2d)) / ((а + d) / а) = ((а + d) / а) / а
Упростим его:
(3а + 3d) / (а + d) = (а + d) / а
Умножим обе части уравнения на (а + d) и а:
(3а + 3d) * а = (а + d) * (а + d)
Раскроем скобки:
3а^2 + 3ad = а^2 + 2ad + d^2
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
2а^2 + ad - d^2 = 0
Так как второе число равно 6, то а + d = 6.
Подставим это значение в уравнение:
2а^2 + 6a - d^2 = 0
Также известно, что второе число равно 6, поэтому а + d = 6. Подставим это значение в уравнение:
а + d = 6
а + d = 6
Теперь у нас есть система уравнений:
2а^2 + 6a - d^2 =0
а + d = 6
Решим систему уравнений методом подстановки:
Из второго уравнения найдем d = 6 - а.
Подставим это значение в первое уравнение:
2а^2 + 6a - (6 - а)^2 = 0
Раскроем скобки:
2а^2 + 6a - (36 - 12а + а^2) = 0
Упростим уравнение:
2а^2 + 6a - 36 + 12а - а^2 = 0
Сгруппируем члены:
а^2 + 8а - 36 = 0
Решим квадратное уравнение:
(а + 9)(а - 4) = 0
Таким образом, получаем два возможных значения для а: а = -9 или а = 4.
Подставим эти значения во второе уравнение:
а + d = 6
Для а = -9:
-9 + d = 6
d = 15
Для а = 4:
4 + d = 6
d = 2
Таким образом, получаем два возможных набора чисел:
1) -9, -6, -3
2) 4, 6, 8
Ответ: Первый набор чисел: -9, -6, -3. Второй набор чисел: 4, 6, 8.