Question

Розв'яжiть рiвняння
(8x) ^ log_2(x) = 1024

Answer 1

Відповідь: x = 4, x = 1/32

Покрокове пояснення:

(8x)^log2(x) = 1024;

log2((8x)^log2(x)) = log2(1024);

log2(x) * log2(8x) = 10;

log2(x) * (log2(x) + log2(8)) = 10;

log2(x) * (log2(x) + 3) = 10;

log2(x) * log2(x) + 3 log2(x) = 10; // log2(x) = t

t^2 + 3t - 10 = 0;

t1 = -5, t2 = 2.

x > 0

x = 4, x = 1/32

Answer 2

Ответ:

$x=4$ либо $x=\frac{1}{32}$.

Пошаговое объяснение:

Cначала переведём всё в степени двойки:

$(8x)^{\log_2x}=1024\\((2^3)x)^{\log_2x}=2^{10}$

Теперь давайте объявим переменную $t=\log_2x$, соотвественно $x=2^t$:

$(2^3*2^t)^t=2^{10}\\2^{(3+t)*t}=2^{10}\\(3+t)*t=10\\t(t+3)=10\\(t+\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2=10\\(t+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}=10\\(t+\frac{3}{2})^2=\frac{49}{4}\\t+\frac{3}{2}=\pm\sqrt{\frac{49}{4}}\\t+\frac{3}{2}=\pm\frac{7}{2}\\t=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}\rightarrow t=2\,\cup\,t=-5 \leftarrow t=-\frac{7}{2}-\frac{3}{2}$

Теперь подставляем $x=2^t$:

$x_1=2^2=4, x_2=2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$.

Следовательно, у уравнения два корня: $x=4$ либо $x=\frac{1}{32}$.

Действительно, в первом случае мы получаем равенство $32^2=1024$, а во втором случае мы получаем другое равенство $\frac{1}{4}^{\frac{1}{5}}=1024$, что также верно.