Question

знайти сторони прямокутника площа якого 24 см ^2 а довжина діагоналі 10

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{50-\sqrt{1924}}\text{ cm}, \sqrt{50+\sqrt{1924}}\text{ cm}$

Объяснение:

Пусть соседние стороны будут $a$ и $b$. Тогда с одной стороны, $ab=24$, а с другой, то поскольку диагональ прямоугольника и две его соседние стороны образуют прямоугольный треугольник, имеем $\sqrt{a^2+b^2}=10 \leftrightarrow a^2+b^2=100$. Подставим $b=\frac{24}{a}$ во второе уравнение:

$a^2+(\frac{24}{a})^2=100\\a^2+\frac{576}{a^2}=100\\a^4+576=100a^2\\a^4-100a^2+576=0$

Выделим квадрат двухчлена:

$a^4-100a^2+2500-2500+576=0\\(a^2-50)^2-1924=0\\a^2-50=\pm\sqrt{1924}\\a^2=50\pm\sqrt{1924}\\a=\pm\sqrt{50\pm\sqrt{1924}}\\\\a_1=\sqrt{50+\sqrt{1924}}, a_2=\sqrt{50-\sqrt{1924}}, a_3 < 0, a_4 < 0$

Поскольку стороны прямоугольника положительные, имеем единственное решение: эти стороны равны $\sqrt{50-\sqrt{1924}}$ см и $\sqrt{50+\sqrt{1924}}$ cм.