Question

Найти x

$2020^{2021^{2022^{2023^{2024^{2025}}}}}\equiv x\bmod (49)$

Answer 1

$2020^s\bmod (49)=(11+49k)^s\bmod (49)=11^s\bmod (49)\\11\bmod (49)=11\\11^2\bmod (49)=121\bmod (49)=23\\11^3\bmod (49)=11\cdot 23\bmod (49)=8\\\vdots \\11-23-8-39-37-15-18-2-22-46-16-29-25-30-36-\\-4-44-43-32-9-1-11\\\vdots$

$11^{21}\bmod (49)=1\Rightarrow 11^{r+21q}\bmod (49)=11^r\bmod (49)\\2022^s\bmod (49)=11^{s\bmod (21)}\bmod (49)\\\vdots \\s=2021^{s_2}\Rightarrow 2021\bmod (21)=5\Rightarrow 2021^{s_2}\bmod (21)=5^{s_2}\bmod (21)\\5-4-20-16-17-1-5-\ldots\\5^6\bmod (21)=1\Rightarrow 5^{p+6q}\bmod (21)=5^p\bmod (21)\\s\bmod (21)=5^{s_2\bmod (6)}\bmod (21)\\\vdots$

$s_2=2022^{s_3}\Rightarrow 2022\bmod (6)=0\Rightarrow 2022^{s_3}\bmod (6)=0\Rightarrow s_2\bmod (6)=0\\s\bmod (21)=5^{s_2\bmod (6)}\bmod (21)=5^0\bmod (21)=1\\2020^s\bmod (49)=11^{s\bmod (21)}\bmod (49)=11^1\bmod (49)=11$

Забавно, но сколько бы мы степеней не добавляли, ответ не изменится, после 2022 это не имеет значения. Стабильность каждый год?)