Записать уравнение параболы, полученной
из параболы у=-4х^2 путем ее пара-
дельного переноса в направлении оси у на 3 единицы вправо, а затем в направлении оси у на 2 единицы вниз.
2. Построить график функции y=x^2+6x+5 и определить ее
а) наименьшее значение
б) промежутки в которых f(x)>0, f(x)<0
в) корни уравнения f(x)=-3
г) промежутки убывания
Помогите пожалуйста
Ответы
Первый вопрос:
1. **Уравнение параболы после параллельного переноса:**
Исходная парабола: \(y = -4x^2\)
Сначала мы параллельно перемещаем ее на 3 единицы вправо, что соответствует изменению переменной \(x\) в уравнении, и затем на 2 единицы вниз, что соответствует изменению переменной \(y\).
Сначала перемещение вправо на 3 единицы: это просто добавление 3 к переменной \(x\) в уравнении параболы.
Затем перемещение вниз на 2 единицы: это отрицательное изменение по оси \(y\), поэтому мы вычитаем 2 из уравнения параболы.
Таким образом, уравнение новой параболы после двойного перемещения будет иметь вид:
\[y = -4(x - 3)^2 - 2\]
второй вопрос :
2. **Функция \(y = x^2 + 6x + 5\):**
а) Наименьшее значение функции можно найти, используя формулу для вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\), которая находится в точке \((-b/2a, c - b^2/4a)\). В этом случае вершина \(x = -b/2a = -6/(2*1) = -3\). Подставив \(x = -3\) в уравнение, мы получаем \(y = (-3)^2 + 6*(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). Таким образом, наименьшее значение функции \(y = x^2 + 6x + 5\) равно -4.
б) Промежутки, в которых \(f(x) > 0\) и \(f(x) < 0\), определяются по знаку функции. Решим \(x^2 + 6x + 5 > 0\) и \(x^2 + 6x + 5 < 0\). Решение неравенства \(x^2 + 6x + 5 > 0\) даёт нам промежутки \(x\), где \(f(x) > 0\), а решение \(x^2 + 6x + 5 < 0\) - промежутки, где \(f(x) < 0\).
\(x^2 + 6x + 5 > 0\) - это уравнение квадратного трехчлена, которое имеет два корня: \(x = -5\) и \(x = -1\). Знак этой функции будет положительным между этими двумя корнями и отрицательным вне этого интервала.
\(x^2 + 6x + 5 < 0\) будет отрицательным вне корней \(x = -5\) и \(x = -1\) и положительным между ними.
Таким образом, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-5, -1)\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty)\).
в) Чтобы найти корни уравнения \(f(x) = -3\), мы должны решить уравнение \(x^2 + 6x + 5 = -3\). Преобразуем его: \(x^2 + 6x + 8 = 0\). Это квадратное уравнение имеет корни \(x = -2\) и \(x = -4\), значит корни уравнения \(f(x) = -3\) равны \(x = -2\) и \(x = -4\).
г) Промежутки убывания функции определяются по знаку производной. Производная функции \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) равна \(f'(x) = 2x + 6\). Функция возрастает, когда производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна. Таким образом, у функции \(f(x)\) один экстремум (минимум), который мы уже нашли (\(-4\)). Поскольку производная положительна при \(x < -3\) и отрицательна при \(x > -3\), функция убывает при \(x < -3\) и возрастает при \(x > -3\).
Теперь, когда мы определили все части второго вопроса, вы можете построить график функции \(y = x^2 + 6x + 5\) и использовать эти результаты для визуального подтверждения.надеюсь помогла