Question

Розв'язати систему з наступних трьох конгруенцій

x = 2 (mod 11)

x= 3 ( mod 7)

x = 1 (mod 3)

Answer 1

Ответ: Данная система сравнений по модулю имеет множество решений  $x = 178+ 231 m ~, ~ m \in \mathbb Z$,  а первое натуральное решение равно 178

Объяснение:

Розв'язати систему з наступних трьох конгруенцій

$\left \{ \begin{array}{l} x \equiv 2 \mod 11 \\\\ x \equiv 3 \mod 7 \\\\ x\equiv 1 \mod 3 \end{array}$

Из первого сравнения по модулю можно вывести следующее
$x = 11 k + 2 ~ , ~ k \in \mathbb Z$

Подставим выведенное во второе сравнение по модулю

x = 11k  + 2 ≡ 3 mod 7
11k + 2  ≡  3 mod 7
11k - 1  ≡  0 mod 7
Отняв от левой части некое число кратное 7, ничего не изменится
11k - 1 - 7k  ≡  0 mod 7

4k - 1 ⁝ 7

Теперь легко подобрать k = 2
Соответственно  x = 2·11 + 2 = 24 - это первое натуральное решение, которое удовлетворяет первым двум сравнениям по модулю, а остальные решения имеют вид  
$x = 24 + 7\cdot 11 n = 24 + 77n ~, ~ n \in \mathbb Z$
Остается приравнять данные решения к третьему сравнению по модулю в системе

24 + 77n ≡  1 mod 3
23 + 77n ≡  0 mod 3
23 - 7·3 + (77 - 3·25)·n ≡  0 mod 3
2 + 2n ⁝ 3 ⇒ 2·(n + 1) ⁝ 3 ⇒ (n + 1)⁝ 3 ⇒ n = 2

Таким образом первое натуральное решение данной системы  сравнений по модулю равно
x = 2·77 + 24 = 154 + 24 = 178

А остальные имеют вид  
$x = 178 + 7\cdot 11 \cdot 3m = 178+ 231 m ~, ~ m \in \mathbb Z$

Answer 2

Ответ:

$x=231k+178, k\in\mathbb{Z_+}$

Объяснение:

Понятно, что если к числу $x$ добавить $11\times7\times3=231$, то его остатки от деления ни на 11, ни на 7, ни на 3 не изменятся, следовательно, если $x$ является решением этой системы, число $x+231$ также будет её решением.

То есть, будем искать решения между 0 и 230.

Итак, давайте сначала рассмотрим остаток от деления $x$ на 11. Поскольку он равен 2, число $x$ является членом арифметической прогрессии с первым членом 2 и разностью 11: $x\in\{2, 13, 24, 35, \dots\}$.

Теперь подключим остатки от деления на 7 - при добавлении к числу 11 этот остаток увеличится на 4. Следовательно, остатки от деления на 7 у членов прогрессии будут $2, 6, 3, 0,\dots$. Замечаем, что 3-й член прогресии (24) удовлетворяет первым двум условиям.

Чтобы остатки от деления на 7 и на 11 у числа не изменились, не должен измениться остаток числа от деления на $7\times11=77$. То есть, под первые два условия подходят числа $24, 24+77=101$ и $101+77=178$ (мы ищем решения, меньшие чем 231). Проверим каждое из них:

$24\text{ mod 3} = 0;\\101\text{ mod 3} = 2;\\178\text{ mod 3} = 1.$

Под третье условие подходит лишь число 178, следовательно, $x=178$.

Теперь, чтобы получить новое решение, следует добавить к числу 231.

Следовательно, ответ: все корни этой системы имеют вид  $x=231k+178$, где $k$ - целое неотрицательное число.