Завдання 1. Висота основи правильної трикутної призми дорівнює 9см, бічне ребро призми 4см. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра описаного навколо даної призми.
Завдання 2. У циліндр, радіус основи якого дорівнює 3см, висота 5√2см вписано правильну чотирикутну призму. Знайдіть площу бічної поверхні призми
Діагональ перерізу циліндра, який проведено паралельно його осі, дорівнює 10 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Переріз відтинаю від кола дугу градусна міра якої 120 градусів. Знайти: висоту циліндра, радіус основи, площу перерізу, та площу основи,
Ответы
Ответ:
**Завдання 1:**
Для знаходження площі осьового перерізу циліндра, описаного навколо правильної трикутної призми, використовуємо формулу:
\[ S_{\text{осьового перерізу}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]
де \( a \) - довжина сторони трикутної призми. Задано, що бічне ребро призми \( a = 4 \) см. Підставимо значення:
\[ S_{\text{осьового перерізу}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 \]
\[ S_{\text{осьового перерізу}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 \]
\[ S_{\text{осьового перерізу}} = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
**Завдання 2:**
Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми визначається формулою:
\[ S_{\text{бічна}} = 4 \cdot a \cdot h \]
де \( a \) - довжина сторони призми, \( h \) - висота призми.
Знаємо, що радіус циліндра \( r = 3 \) см, а висота вписаної призми \( h = 5\sqrt{2} \) см. Також, оскільки це правильна чотирикутна призма, сторона \( a \) може бути знайдена як \( a = \frac{r}{\sqrt{2}} \).
\[ a = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Тепер підставимо значення в формулу:
\[ S_{\text{бічна}} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot 5\sqrt{2} \]
\[ S_{\text{бічна}} = 60 \, \text{см}^2 \]
**Додатково:**
Задано діагональ перерізу циліндра, який проведено паралельно його осі, дорівнює 10 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Переріз відтинає від кола дугу градусна міра якої 120 градусів.
- Висота циліндра \( h \) може бути знайдена як \( h = d \cdot \sin(\alpha) \), де \( d \) - діагональ, \( \alpha \) - кут з площиною основи.
- Радіус циліндра \( r \) може бути знайдений як \( r = \frac{d}{2} \).
- Площа перерізу \( S_{\text{перерізу}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi \cdot r^2 \), де \( \theta \) - градусна міра дуги.
- Площа основи \( S_{\text{основи}} = \pi \cdot r^2 \).
Підставимо відомі значення:
\[ h = 10 \cdot \sin(30^\circ) \]
\[ h = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{см} \]
\[ r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \]
\[ S_{\text{перерізу}} = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 5^2 \]
\[ S_{\text{перерізу}} = \frac{1}{3} \cdot 25\pi \]
\[ S_{\text{перерізу}} = \frac{25\pi}{3} \, \text{см}^2 \]
\[ S_{\text{основи}} = \pi \cdot 5^2 \]
\[ S_{\text{основи}} = 25\pi \, \text{см}^2 \]
Отже, висота циліндра \( h = 5 \) см, радіус основи \( r = 5 \) см, площа перерізу \( S_{\text{перерізу}} = \frac{25\pi}{3} \) см², площа основи \( S_{\text{основи}} = 25\pi \) см².