Question

Помогите найти первые частные производные функции
f=a²x²cosx+(a+1)x+a

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\partial f}{\partial x} =2a^2x\cos x-a^2x^2\sin x+a+1$

$\dfrac{\partial f}{\partial a} =2ax^2\cos x+x+1$

Решение:

Рассмотрим функцию:

$f(x;\ a)=a^2x^2\cos x+(a+1)x+a$

Находим частные производные:

$\dfrac{\partial f}{\partial x} =\big(a^2x^2\cos x+(a+1)x+a\big)'_x=$

$=\big(a^2x^2\cos x\big)'_x+\big((a+1)x\big)'_x+a'_x=$

$=a^2\cdot \big(x^2\cos x\big)'_x+(a+1)\cdot x'_x+0=$

$=a^2\cdot \big((x^2)'_x\cdot \cos x+x^2\cdot(\cos x)'_x\big)+(a+1)\cdot 1=$

$=a^2\cdot \big(2x\cdot \cos x+x^2\cdot(-\sin x)\big)+a+1=$

$=\boxed{2a^2x\cos x-a^2x^2\sin x+a+1}$

$\dfrac{\partial f}{\partial a} =\big(a^2x^2\cos x+(a+1)x+a\big)'_a=$

$=\big(a^2x^2\cos x\big)'_a+\big((a+1)x\big)'_a+a'_a=$

$=x^2\cos x\cdot \big(a^2\big)'_a+x\cdot \big(a+1\big)'_a+1=$

$=x^2\cos x\cdot 2a+x\cdot 1+1=\boxed{2ax^2\cos x+x+1}$

Элементы теории:

Частные производные по какой-либо переменной вычисляются исходя из предположения, что все остальные переменные - константы.