Question

Дам 40 баллов срочно!!!

706. 9y" +y=0; y (3pi/2) = 2, y' (3pi/2) = 0.

706 номер

Answer 1

$\mathcal{L}_x\left \{ 9y''+y \right \}=\mathcal{L}_x\left \{ 0 \right \}\Leftrightarrow 9\mathcal{L}_x\left \{ y'' \right \}+\mathcal{L}_x\left \{ y \right \}=\mathcal{L}_x\left \{ 0 \right \}$

$9\mathcal{L}_x\left \{ y'' \right \}+\mathcal{L}_x\left \{ y \right \}=0\Leftrightarrow 9 \mathcal{L}_x\left \{ y \right \}s^2-sy(0)-y'(0)+\mathcal{L}_x\left \{ y \right \}=0\\\left ( 9s^2+1 \right )\mathcal{L}_x\left \{ y \right \}-9\left ( sy(0)+y'(0) \right )=0\Leftrightarrow \mathcal{L}_x\left \{ y \right \}=\cfrac{9(y(0)s+y'(0))}{9s^2+1}$$\mathcal{L}_x\left \{ y \right \}=\cfrac{9sy(0)}{9s^2+1}+\cfrac{9y'(0)}{9s^2+1}\Rightarrow y=\mathcal{L}^{-1}_s\left \{ \cfrac{9sy(0)}{9s^2+1} \right \}+\mathcal{L}^{-1}_s\left \{ \frac{9y'(0)}{9s^2+1} \right \}\\y=y(0)\cos \cfrac{x}{3}+3y'(0)\sin \cfrac{x}{3}=c_1\cos \cfrac{x}{3}+3c_2\sin \cfrac{x}{3}$$\begin{cases}y\left ( \cfrac{3\pi}{2} \right )=2\\ y'\left ( \cfrac{3\pi}{2} \right )=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y(0)=c_1=0\\y'(0)=c_2=2\end{cases}\Rightarrow y=2\sin \cfrac{x}{3}$

Answer 2

Ответ:

ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

$\bf 9y''+y=0\ \ ,\ \ \ y'(\dfrac{3\pi }{2})=0\ ,\ y(\dfrac{3\pi }{2})=2$          

Характеристическое уравнение :  

$\boldsymbol{9k^2+1=0\ \ ,\ \ k^2=-\dfrac{1}{9}\ \ ,\ \ k=\pm \dfrac{1}{3}\, i}$            

Общее решение :

$\bf y_{o}=C_1\cdot cos\dfrac{x}{3}+C_2\cdot sin\dfrac{x}{3}$  

Найдём частное решение , подставив начальные условия .

$\displaystyle \bf y'_{o}=-\frac{C_1}{3}\cdot sin\frac{x}{3}+\frac{C_2}{3}\cdot cos\frac{x}{3}\\\\y'(\frac{3\pi }{2})=-\frac{C_1}{3}\cdot sin\frac{\pi }{2}+\frac{C_2}{3}\cdot cos\frac{\pi }{2}=-\frac{C_1}{3}\ \ ,\ \ -\frac{C_1}{3}=0\ \ ,\ \ C_1=0\\\\y(\frac{3\pi }{2})=C_1\cdot cos\frac{\pi }{2}+C_2\cdot sin\frac{\pi }{2}=C_2\ \ ,\ \ \ C_2=2$    

Частное решение :

$\bf \widetilde{y}=2\cdot sin\dfrac{x}{3}$