Question

Разложить функцию в ряд Маклорена или Тейлора.

Answer 1

Решение .

Известно разложение в ряд Маклорена функции  $\bf y=e^{\alpha }$  .

$\bf e^{\alpha }=1+\dfrac{\alpha }{1!}+\dfrac{\alpha ^2}{2!}+\dfrac{\alpha ^3}{3!}+...+\dfrac{\alpha ^{n}}{n!}+...\ \ \ ,\ \ \ \alpha \in R\ \ \ \ (*)$  

По свойствам логарифма и показательной функции преобразуем выражение  5ˣ к виду

$\bf 5^{x}=e^{ln5^{x}}=e^{x\cdot ln5}$    

В разложении (*) заменим  α на  х·ln5 :    

$\displaystyle \bf 5^{x}=e^{x\cdot ln5}=1+\frac{x\cdot ln5}{1!}+\frac{x^2\cdot ln^25}{2!}+\frac{x^3\cdot ln^35}{3!}+\frac{x^{n}\cdot ln^{n}5}{n!}+...\ \ ,\ \ x\in R$