Question

Решите уравнение cos4x - cosx = 0 и укажите количество корней из промежудка [0;4пи].

Answer 1

$cos 4x-cos x=0\ 2cos^22x-1-cos x=0\ 2(2cos x-1)^2-1-cos x=0\ 2(4cos^2x-4cos x+1)-1-cos x=0\ 8cos^2x-8cos x+2-1-cos x=0\ 8cos^2x-9cos x+1=0$

Пусть $cos x=t~(|t|leq 1)$, получим квадратное уравнение относительно t:

$8t^2-9t+1=0\ D=b^2-4ac=(-9)^2-4cdot 8cdot1=49\ t_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a}=dfrac{9+7}{2cdot8} =1 \ t_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}=dfrac{9-7}{2cdot8} =dfrac{1}{8}$

Возвращаемся к обратной замене

$cos x=1~~Rightarrow~~~ x=2pi n,n in mathbb{Z}\ cos x=frac{1}{8}~~~Rightarrow~~~ x=pm arccosfrac{1}{8}+2pi n,n in mathbb{Z}$

Отбор корней из промежутка принадлежащих [0;4π]:

1. Для корня $x=2pi n,n in mathbb{Z}$

Если $n=0$ то $x=0$

Если $n=1$ то $x=2pi$

Если $n=2$ то $x=4pi$

2. Для корня $x=pm arccosfrac{1}{8}+2pi n,n in mathbb{Z}$

Если n=0, то $x=arccosfrac{1}{8}$

Если n=1, то $x=pmarccosfrac{1}{8}+2pi$

Если n=2, то $x=-arccosfrac{1}{8}+4pi$