Question

на рисунке изображен правильный восьмиугольник.площадь его темной части равна 3см квадрат .чему равна площадь всего восьмиугольника (в см квадрат)?

Answer 1

Начало простое, радиус вписанной в правильный восьмиугольник со стороной 1

 окружности равен R=1/2/tg(45/2) 


теперь вспоминай тригонометрию 

(tg(45/2))^2=(1-cos45)/(1+cos45) 


tg(45/2)=((1-cos45)/(1+cos45))^0,5 


Следовательно радиус R=0,5/((1-cos45)/(1+cos45))^0,5 




Соедини попарно наиболее удаленные друг от друга точки восьмиугольника отрезками

 прямых. Получится 8 равнобедренных треугольников с основаниями, равными 1 и
углами при вершине 45 градусов (далее размерность углов указывать не буду, она
будет только в градусах) . Высота такого треугольника равна радиусу вписанного в
восьмиугольник круга. Из рассмотрения одного треугольника получаем r=0,5*ctg(22,5)
. 
Тогда площадь круга равна S=Пи*r^2=Пи*(0,5*ctg(22,5))^2=0,25*Пи*(ctg(22,5))^2= 

=0,25*Пи*(cos(22,5))^2/(sin(22,5))^2=0,25*Пи*(1+cos(45))/(1-cos(45))=0,25*Пи*(2+√ 2)/(2-√

 2)=0,125*Пи*(2+√ 2)^2.