Question

найдите сумму геометрической прогрессии если bn= (-1)^n*12/2^n+1     Ответ должен быть -2

Answer 1

$b_n = (-1)^ncdot frac{12}{2^{n+1}}$

Сумма геометрической прогрессии находиться по следующей формуле:

$S_n = frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Найдём b₁

$b_1 = (-1)^1cdotfrac{12}{2^{1+1}} = frac{-12}{4} = -3$

q - знаменатель геометрической прогрессии - найдём из формулы n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1cdot q^{n-1}$

Возьмём n = 2. Найдём по формуле из условия b₂. Далее, зная значение b₂, мы сможем найти q по формуле n-ого члена

$b_2 = (-1)^2 cdot frac{12}{2^{2+1}} = frac{12}{8} = frac{3}{2}\\b_2 = b_1cdot q^{2-1}\\frac{3}{2} = -3 cdot q Rightarrow q = -frac{1}{2}$

Так как |q| = 1/2 < 1 то формула суммы примет следующий вид:

$S = frac{b_1}{1-q}\\S = frac{-3}{1-(-frac{1}{2})} = frac{-3}{1+frac{1}{2}} = -3 : frac{3}{2} = -3cdot frac{2}{3} = -2$

Ответ: -2