Question

Докажите неравенство
$a^{4} +2a^{3}b+2ab^{3}+b^{4} geq 6a^{2}b^{2}$
Где a и b одного знака

Answer 1

$a^4 + 2a^3b + 2ab^3 + b^4 > 6a^2b^2$
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 2a^3b - 4a^2b^2 + 2ab^3>0$
$(a^2 - b^2)^2 + 2ab(a^2 - 2ab + b^2)>0$
$(a^2 - b^2)^2 + 2ab(a - b)^2 >0$

a и b - одного знака, значит $a*b>0$, тогда

$(a^2 - b^2)^2 + 2ab(a - b)^2 >0$