Question

Найти
градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке А: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4:-3}, A(-1:1)

Answer 1

$f:mathbb{R}^2longrightarrowmathbb{R} f(x,y)=x^2y+2xy^2 \ g:mathbb{R}longrightarrowmathbb{R} g(t)=t^4 \ z:mathbb{R}^2longrightarrowmathbb{R} z=gcirc f \ frac{vartheta z(x,y)}{vartheta x}=frac{dg(f(x,y))}{dt}cdotfrac{vartheta f(x,y)}{vartheta x} \ frac{vartheta z(x,y)}{vartheta x}=4(x^2y+2xy^2)^3cdot (2xy+2y^2) \ frac{vartheta z(-1,1)}{vartheta x}=0 (2(-1)1+2(1)^2)=(-2+2)=0$
$frac{vartheta z(x,y)}{vartheta y}=4(x^2y+2xy^2)^3cdot(x^2+4xy) \ frac{vartheta z(-1,1)}{vartheta y}=12 -4cdot(-3)$
$nabla z(-1,1)=(0,12)$

$frac{vartheta z}{vartheta a}=frac{dg(f(x,y))}{dt}cdotfrac{vartheta f(x,y)}{vartheta a} =<nabla z(x,y),overrightarrow{a}> \ frac{vartheta z(-1,1)}{vartheta (-4,-3)}=<nabla z(-1,1), (-4,-3)>=<(0,12),(-4,-3)>=-36$

P.S. Решил добавить пару замечаний:
1). этап определения $z=g circ f$ - не обязателен для решения. Я добавил его для наглядности получения частных производных. На мой взгляд - лучше прослеживается весь путь дифференциирования: сначала, по методу сложной функции одной переменной, из неё переходим в частную производную внутренней функции.

2). равенство $frac{vartheta z(x,y)}{vartheta overrightarrow{a}}=<nabla z(x,y),overrightarrow{a}>$ доказывается отдельно. 

Если возникнут вопросы - пиши. 
Удачи!