Question

sin3x+sin7x=2sin5x Сколько корней имеет данное уравнение на промежутке [0;$pi$] ?

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

sin3x + sin7x =2sin5x    Отрезок:[0; π]
Воспользуемся формулой суммы синусов и перейдем в левой части к произведению:
2sin5x*cos2x = 2sin5x
Или, разложив на множители:
sin5x(cos2x - 1) = 0
Получим две группы решений:
sin5x = 0                         cos2x = 1
5x=πk                             2x = 2πn,           k,n ∈ Z
x = πk/5                          x = πn
Эти решения можно объединить в одно:
x = πk/5 , так как решения x = πn находятся внутри области решений x = πk/5
Теперь подсчитаем корни, принадлежащие заданному промежутку:
0 ≤ πk/5 ≤ π
Сократив на π и умножив на 5, получим:
0 ≤ k ≤ 5
На отрезке от 0 до 5 находится ровно 6 целых чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 6