Question

$sqrt{(a+ alpha)(b+ beta)} leq frac{1}{2} (a+b)+frac{1}{2}( alpha + beta )$
Все переменные больше нуля.
Докажите неравенство

Answer 1

Пусть $a + alpha = x, b + beta = y$, x>0, y>0
Тогда надо доказать, что:
$sqrt{xy} leq frac{1}{2}x + frac{1}{2} y$
$2sqrt{xy} leq x + y$
$4xy leq x^2+2xy+y^2$
$0 leq x^2-2xy+y^2$
$0 leq (x-y)^2$ - это верно всегда.

Answer 2

Спасибо огромное! ...всё просто, а я не увидел этого.