Question

Решите!! Когда уравнение x^2+2(m+1)x+9=0 имеет 2 различных корня X1>0 X2>0

Answer 1

Для того, чтобы квадратное уравнение имело 2 корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным
$D=4(m+1)^2-36=4m^2+8m-32>0$
Для того, чтобы корни были ещё и положительными, нужно, чтобы выполнялось неравенство $x_{1,2}=frac{-2(m+1)pm(4m^2+8m-32)}{2}>0$
Знаменатель положителен, значит его можно отбросить. Получаем систему неравенств:
$begin{cases}4m^2+8m-32>0\-2(m+1)+(4m^2+8m-32)>0\-2(m+1)-(4m^2+8m-32)>0end{cases}Rightarrowbegin{cases}4m^2+8m-32>0\4m^2+6m-34>0\4m^2+10m-30<0end{cases}Rightarrow\Rightarrowbegin{cases}m^2+2m-8>0\2m^2+3m-17>0\2m^2+5m-15<0end{cases}Rightarrowbegin{cases}(m+4)(m-2)>0\2left(m+frac{3-sqrt{145}}2right)left(m+frac{3+sqrt{145}}2right)>0\2left(m+frac{5-sqrt{145}}2right)left(m+frac{5+sqrt{145}}2right)<0end{cases}$
$begin{cases}min(-infty;;-4)cup(2;;+infty)\minleft(-infty;;-frac{3+sqrt{145}}2right)cupleft(-frac{3-sqrt{145}}2;;+inftyright)\minleft(-infty;;-frac{5+sqrt{145}}2right)cupleft(-frac{5-sqrt{145}}2;;+inftyright)end{cases}Rightarrow\Rightarrow minleft(-infty;;-frac{5+sqrt{145}}2right)cupleft(-frac{3-sqrt{145}}2;;+inftyright)$