В треугольнике abc вписана окружность и еще 3 окружности радиусов r1,r2,r3 так что они попарно касаются сторон треугольника и данной окружности найти ее радиус
Ответы
Ответ дал:
0
Для начало обозначим вершины треугольника как
.
Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно
. так же радиусы
.
Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.
Обозначим проекций радиуса на сторону
.
Из этого следует что отрезки
![AC_{1}=AB_{1}\
BC_{1}=BA_{1}\
CA_{1}=CB_{1}
AC_{1}=AB_{1}\
BC_{1}=BA_{1}\
CA_{1}=CB_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=AC_%7B1%7D%3DAB_%7B1%7D%5C%0ABC_%7B1%7D%3DBA_%7B1%7D%5C%0ACA_%7B1%7D%3DCB_%7B1%7D%0A)
Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .
Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка
.
Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны
.
Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3.
То есть трапеций
.
Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций .
Они будут равны![sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2sqrt{RR_{1}}\
sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2sqrt{RR_{2}}\
sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2sqrt{RR_{3}}\ sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2sqrt{RR_{1}}\
sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2sqrt{RR_{2}}\
sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2sqrt{RR_{3}}\](https://tex.z-dn.net/?f=sqrt%7B%28R_%7B1%7D%2BR%29%5E2-%28R-R_%7B1%7D%29%5E2%7D%3D2sqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%5C%0Asqrt%7B%28R_%7B2%7D%2BR%29%5E2-%28R-R_%7B2%7D%29%5E2%7D%3D2sqrt%7BRR_%7B2%7D%7D%5C%0Asqrt%7B%28R_%7B3%7D%2BR%29%5E2-%28R-R_%7B3%7D%29%5E2%7D%3D2sqrt%7BRR_%7B3%7D%7D%5C)
Заметим так же что треугольники
будут подобны , большим прямоугольным треугольникам . Откуда из подобия получим
![frac{CJ}{CJ+2sqrt{RR_{1}}}=frac{R_{1}}{R}\
CJR=R_{1}CJ+2R_{1}sqrt{RR_{1}}\
CJ=frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} frac{CJ}{CJ+2sqrt{RR_{1}}}=frac{R_{1}}{R}\
CJR=R_{1}CJ+2R_{1}sqrt{RR_{1}}\
CJ=frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7BCJ%7D%7BCJ%2B2sqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%7D%3Dfrac%7BR_%7B1%7D%7D%7BR%7D%5C%0A+CJR%3DR_%7B1%7DCJ%2B2R_%7B1%7Dsqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%5C%0ACJ%3Dfrac%7B2R_%7B1%7Dsqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%7D%7BR-R_%7B1%7D%7D)
И так все стороны. Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как отрезки касательных равны. В итоге получим
![BC=2sqrt{RR_{1}}+frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2sqrt{RR_{2}}+frac{2R_{2}*sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} BC=2sqrt{RR_{1}}+frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2sqrt{RR_{2}}+frac{2R_{2}*sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=BC%3D2sqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B1%7Dsqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%7D%7BR-R_%7B1%7D%7D%2B2sqrt%7BRR_%7B2%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B2%7D%2Asqrt%7BRR_%7B2%7D%7D%7D%7BR-R_%7B2%7D%7D+)
![AC=2sqrt{RR_{1}}+frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2sqrt{RR_{3}}+frac{2R_{3}sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}} AC=2sqrt{RR_{1}}+frac{2R_{1}sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2sqrt{RR_{3}}+frac{2R_{3}sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3D2sqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B1%7Dsqrt%7BRR_%7B1%7D%7D%7D%7BR-R_%7B1%7D%7D+%2B+2sqrt%7BRR_%7B3%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B3%7Dsqrt%7BRR_%7B3%7D%7D%7D%7BR-R_%7B3%7D%7D+)
![AB=2sqrt{RR_{2}}+frac{2R_{2}sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2sqrt{RR_{3}}+frac{2R_{3}sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}} AB=2sqrt{RR_{2}}+frac{2R_{2}sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2sqrt{RR_{3}}+frac{2R_{3}sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=AB%3D2sqrt%7BRR_%7B2%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B2%7Dsqrt%7BRR_%7B2%7D%7D%7D%7BR-R_%7B2%7D%7D+%2B+2sqrt%7BRR_%7B3%7D%7D%2Bfrac%7B2R_%7B3%7Dsqrt%7BRR_%7B3%7D%7D%7D%7BR-R_%7B3%7D%7D+++)
Теперь зная стороны , по формуле![S=pr\r=frac{S}{p} S=pr\r=frac{S}{p}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3Dpr%5Cr%3Dfrac%7BS%7D%7Bp%7D)
Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел
Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно
Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.
Обозначим проекций радиуса на сторону
Из этого следует что отрезки
Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .
Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка
Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны
Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3.
То есть трапеций
Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций .
Они будут равны
Заметим так же что треугольники
И так все стороны. Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как отрезки касательных равны. В итоге получим
Теперь зная стороны , по формуле
Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел
Ответ дал:
0
СУПЕР!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Вас заинтересует
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад