Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно l и образует с ребром основания пирамиды угол альфа. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

помогите пожалуйста как можно быстрей. очень-очень-ооочень надо до завтра решить)
заранее спасибо)

Answer 1

Пирамида четырехугольная, правильная, значит в основании квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота проецируется в центр основания.

Пусть Н - середина CD, Тогда SH⊥CD как медиана равнобедренного треугольника. SH - апофема пирамиды.

ΔSHC: SH = l · sinα
             CH = l · cosα
Сторона основания:
CD = 2CH = 2l · cosα

Sполн = Sосн + Sбок

Sосн = СD² = 4l² · cos²α

Sбок = 1/2 · Pосн · SH = 1/2 · 8l·cosα · l · sinα
Sбок = 4·l² · sinα · cosα = 2l² · sin2α
(так как sin2α = 2sinα·cosα)

Sполн = 4l² · cos²α + 2l² · sin2α = 2l² · (2cos²α + sin2α)