Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM .

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОЖАЛУЙСТА!

Answer 1

Пусть площадь треугольника ABC=S. 

1) S(площадь) треугольника AВM=S(площади) треугольника MBC (как равновеликие). Тогда, S треугольника ABC=2 S треугольника MBC=$frac{S}{2}$

2) Рассмотри треугольник ABM. 
S треугольника ABK=S треугольника AKM = $frac{S}{4}$ (Т.к. АК-медиана и треугольника равновеликие). 

3) Дополнительное построение: 
Из т. М проведём МD параллельно АР. АМ=МС, следовательно,
 по теореме Фалеса. PD=DC (отсекает равны отрезки).

4). Рассмотри треугольник ВМDю 
По теореме Фалеса ВР=РD, т.к. АК-медиана. Следовательно, ВР=PD=DC. 

5) Рассмотрим треугольник ABP. 
S треугольника ABP=$frac{1}{3}$ S(площади) треугольника АВС, 
т.к. высота h-единственная, BP=PD=DC. 
Тогда S треугольника АРС=$frac{2}{3}$ S (площади) ABC. 

6) S треугольника АКM=$frac{S ABC}{4}.$

S четырёхугольника KPCM=S APC-AKM=$frac{5S}{12}$ 

7) $frac{SAMK}{S KPCM}= frac{12S}{4*5S}= frac{3}{5}$

Ответ: $frac{3}{5}$

P.S. не забудьте ответ отметить как "лучший". Я единственный, кто решит Вам эту задачу на этом сайте.