Найдите сумму n - членов ряда ряда и бесконечную сумму 1/1*2*3 +1/2*3*4 +1/3*4*5 .....+1/n(n+1)(n+2) ответ для бесконечной суммы 1/4
Ответы
Ответ дал:
0
Для начало проверим так ли это , по признаку сходимости . Преобразуем
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было
![frac{1!}{3!}+frac{1!}{4!}+frac{2!}{5!}+frac{3!}{6!}+frac{4!}{7!}... frac{1!}{3!}+frac{1!}{4!}+frac{2!}{5!}+frac{3!}{6!}+frac{4!}{7!}...](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B1%21%7D%7B3%21%7D%2Bfrac%7B1%21%7D%7B4%21%7D%2Bfrac%7B2%21%7D%7B5%21%7D%2Bfrac%7B3%21%7D%7B6%21%7D%2Bfrac%7B4%21%7D%7B7%21%7D...)
если принять
получим
По признаку Даламбера получим то что ряд сходится . Теперь вычислим саму сумму, ряд можно представить как
а в скобках это Треугольник Лейбница и он равен![frac{1}{2}\
S=frac{1}{2}^2=frac{1}{4} frac{1}{2}\
S=frac{1}{2}^2=frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B1%7D%7B2%7D%5C%0AS%3Dfrac%7B1%7D%7B2%7D%5E2%3Dfrac%7B1%7D%7B4%7D)
Запишем
![n=1\
frac{1}{n(n+1)(n+2)} + frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\
a_{1}= frac{1}{n(n+1)(n+2)}=frac{1}{2}(frac{1}{n} - frac{2}{n+1}+frac{1}{n+2})\
a_{2}= frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+1}-frac{2}{n+2}+frac{1}{n+3})\
a_{3}= frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+2}-frac{2}{n+3}+frac{1}{n+4})\\
n=1\
frac{1}{n(n+1)(n+2)} + frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\
a_{1}= frac{1}{n(n+1)(n+2)}=frac{1}{2}(frac{1}{n} - frac{2}{n+1}+frac{1}{n+2})\
a_{2}= frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+1}-frac{2}{n+2}+frac{1}{n+3})\
a_{3}= frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=frac{1}{2}(frac{1}{n+2}-frac{2}{n+3}+frac{1}{n+4})\\](https://tex.z-dn.net/?f=n%3D1%5C%0A+frac%7B1%7D%7Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%7D%2Bfrac%7B1%7D%7B%28n%2B2%29%28n%2B3%29%28n%2B4%29%7D...%5C%5C%0Aa_%7B1%7D%3D+frac%7B1%7D%7Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29%7D%3Dfrac%7B1%7D%7B2%7D%28frac%7B1%7D%7Bn%7D+-+frac%7B2%7D%7Bn%2B1%7D%2Bfrac%7B1%7D%7Bn%2B2%7D%29%5C%0Aa_%7B2%7D%3D+frac%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%28n%2B2%29%28n%2B3%29%7D%3Dfrac%7B1%7D%7B2%7D%28frac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D-frac%7B2%7D%7Bn%2B2%7D%2Bfrac%7B1%7D%7Bn%2B3%7D%29%5C%0Aa_%7B3%7D%3D+frac%7B1%7D%7B%28n%2B2%29%28n%2B3%29%28n%2B4%29%7D%3Dfrac%7B1%7D%7B2%7D%28frac%7B1%7D%7Bn%2B2%7D-frac%7B2%7D%7Bn%2B3%7D%2Bfrac%7B1%7D%7Bn%2B4%7D%29%5C%5C%0A)
Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим
![S_{n}=frac{1}{2}(frac{1}{2}-frac{n!}{(n+2)!}) S_{n}=frac{1}{2}(frac{1}{2}-frac{n!}{(n+2)!})](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bn%7D%3Dfrac%7B1%7D%7B2%7D%28frac%7B1%7D%7B2%7D-frac%7Bn%21%7D%7B%28n%2B2%29%21%7D%29)
либо
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было
если принять
а в скобках это Треугольник Лейбница и он равен
Запишем
Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим
либо
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад