Question

В трапеции  ABCEоснование AE равно 16. Боковая сторона CE равна 8 корней из 3.
Известно, что окружность, проходящая через точки A, B, C, пересекает сторону 
AEв точке H, причём AHB 60 . Найти 
 BH

Answer 1

Рассматриваем трапецию ABCH.
Она равнобедренна, так как вписана в окружность.
Проведём диагональ AC.
BH = AC, так как диагонали равнобедренной трапеции.
Угол AHB равен углу CAH, так как треугольник ABH равен треугольнику ACH по первому признаку.
Рассматриваем треугольник АСЕ.
Возьмём АС за $x$.
Применим к АСЕ теорему косинусов.
Имеем:
$(8 sqrt{3})^{2} = x^{2} + 16^{2} - 2x*16*0,5$
$192 = x^{2} - 16x + 256$
$x^{2} -16x+64 = 0$
$x_{1,2} = -frac{b}{2a} = frac{16}{2} = 8$
АС = $x$ = 8.
BH = AC = 8.