Question

Точка M середина стороны BC правильного треугольника ABC, точки N и K симметричны точке M относительно прямых AB и AC. Докажите что NK перпендикулярна AM

Answer 1

Так как точка К симметрична точке М относительно прямой АС, то

КМ⊥АС и КО = ОМ.

Так как точка N симметрична точке М относительно прямой АВ, то

NM⊥AB и NP = PM.

Рассмотрим треугольники ВМР и СМО:

ВМ = МС, так как М - середина ВС,

∠ВРМ = ∠СОМ = 90°,

∠МВР = ∠МСО = 60° (так как треугольник АВС правильный), ⇒

ΔВМР = ΔСМО по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует:

      МР = МО, и значит МN = MK,

      ∠ВМР = ∠СМО.

АМ - медиана и высота ΔАВС, тогда

∠AMN = 90° - ∠ВМР

∠АМК = 90° - ∠СМО, а так как ∠ВМР = ∠СМО, то и

∠AMN = ∠АМК.

Итак, ΔMNK равнобедренный с основанием NK,

МТ - его биссектриса, проведенная к основанию, значит МТ - высота.

Следовательно NK⊥AM.