Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!

вычислить без таблиц sin18градусов

Answer 1

При решениииспользуем следующие тригонометрические соотношения:

$(1) sinalpha=cos(90^0-alpha)\ (2)cos2alpha=1-2sin^2alpha\ (3)sin3alpha=3sinalpha-4sin^3alpha$

Из равенства (1) получаем:

$sin(3cdot 18^0)=cos(2cdot 18^0)$

Обозначим :

$sin18^0=x$

Используя (3), получим

$sin(3cdot 18^0)=3x-4x^3$

а из (2) получим

$cos(2cdot18^0)=1-2x^2$

приравняем эти выражения

$3x-4x^2=1-2x^2\ 4x^3-2x^2-3x+1=0\ x_{1}=1 \ 4x^3-2x^2-3x+1=4x^3-4x^2+2x^2-2x-x+1=\\ =(x-1)(4x^2+2x-1)=0\ x_{2}=frac{-1-sqrt{5}}{4}\ x_{3}=frac{-1+sqrt{5}}{4}$

Первые два корня заведомо не равны sin 18 градусов, поэтому

$sin18^0=frac{sqrt{5}-1}{4}$