Question

Помогите решить неравенство:
$1+6x- sqrt{7-3x} geq 0$

Answer 1

Представим данное неравенство как:
$14-14+1+6x- sqrt{7-3x} geq 0$
Вынесем -2 за скобки из -14+6:
$-2(7-3x)+14+1- sqrt{7-3x} geq 0$
Выполним замену: t=√(7-3x).
$-2t^2+14+1- t geq 0 \ 2t^2+t-15 leq 0$
Находим нули функции:
$2t^2+t-15 = 0 \ D=1^2-4*2*(-15)=1+120=121 \ sqrt{D}=11 \ x_1= frac{-1+11}{4}=2,5 \ x_2= frac{-1-11}{4}=-3$
Проверим, каким будет знак функции на каждом из интервалов (минус бесконечность; -3), (-3; 2,5), (2,5; плюс бесконечность):
$2*(-100)^2-100-15=20000-115=19885 \ 19885 >0$
Поскольку знаки чередуются, то функция будет меньше или равна нулю только на интервале [-3; 2,5].
Возвращаемся к замене. Должны одновременно выполняться следующие условия:
√(7-3x)∈[-3; 2,5]; и
7-3x≥0 - поскольку подкоренное выражение не может иметь отрицательное значение.
Для начала разберемся с ОДЗ:
7-3х≥0;
-3х≥-7;
х≤2,(3).
Теперь вернемся к первому условию. Его следует представить системой из двух неравенств:
$left { {{ sqrt{7-3x} geq -3} atop { sqrt{7-3x} leq 2,5}} right.$
Посмотрим на первое неравенство. Его левая часть больше или равна 0 - по ОДЗ, в то время как правая - меньше. Следовательно, оно выполняется для всех действительных чисел, входящих в ОДЗ, и эквивалентно уже решенному неравенству 7-3х≥0.
Теперь займемся вторым. Возведем обе его части в квадрат - обе они больше нуля, так что это допустимо (левая часть по ОДЗ, правая - константа).
$sqrt{7-3x} leq 2,5} \ 7-3x leq 6,25 \ -3x leq -0,75 \ x geq 0,25$
Итоговый интервал будет выглядеть как объединение условий этого неравенства и ОДЗ.
Ответ: $x$∈$[ frac{1}{4} ; 2 frac{1}{3}]$. Квадратные скобки показывают что границы интервала входят в решение.