Question

ооооочень нужно!!! решение сфоткайте,если можно
1. Диаметр шара равен высоте конуса, об­разующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.

2. Объем цилиндра равен 96 см3, площадь его осевого сечения 48 см 2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Answer 1

1. Объем шара V=4/3π*r³. Объем конуса V=1/3SH.
Так как угол при образующей конуса равен 60°, то его образующие вместе с диаметром основания составляют равносторонний треугольник. И раз так, по теореме Пифигора, квадрат радиуса основания конуса равен разности квадратов его диаметра (этому значению равна длинна его образующей) и высоты:
$r^2= 4r^2-H^2 \ H^2=3r^2 \ H=r sqrt{3}\ r=frac{H}{sqrt{3}}$
Площадь основания конуса будет π*r². Следовательно, объем конуса будет:
$frac{1}{3} pi (frac{H}{ sqrt{3} })^2*H= frac{1}{9} pi H^3$
Так как диаметр шара равен высоте конуса, объем шара можно представить как:
$V= frac{4}{3} pi (frac{H}{2}) ^3= frac{1}{6} pi H^3$.
Найдем теперь отношение объемов конуса и шара:
$frac{frac{1}{9} pi H^3}{frac{1}{6} pi H^3} = frac{6}{9}= frac{2}{3}$
Следовательно, объем данного конуса составляет 2/3 объема данного шара.
2. Радиус описанной вокруг цилиндра сферы вычисляется по формуле:
$R= sqrt{1/4H^2+r^2}$
 Объем цилиндра равен площади его основания, умноженной на высоту. Отсюда высота цилиндра Н=96/48=2 см. Площадь основания равна π*r², отсюда:
$r= sqrt{ frac{48}{ pi } }=4 sqrt{ frac{3}{ pi } }$.
Площадь сферы равна 4π*R². Подставляем в эту формулу уже найденные значения:
$S=4 pi R^2=4 pi ( frac{1}{4}H^2+r^2)= 4 pi ( frac{1}{4}*2^2+ frac{48}{ pi } )=4 pi (1+ frac{48}{ pi } )= \ =4 pi +192$
Площадь сферы будет равняться (192+4π) см².