Question

(sin^2(п-а)+cos2a+sin(п/2 -а)) / (sin2а +cos(3п/2 -а)) = 1/2 ctg а ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!! доказать тождество

Answer 1

Выражение, представленное в условии, не является тождеством. В нём содержится опечатка.

Докажем, что тождеством является следующее выражение:

$frac{sin^2(pi-alpha )+cos2alpha +sin(frac{pi}{2}-alpha )}{sin2alpha +2cos(frac{3pi}{2}+alpha)}=frac{1}{2}ctgalpha$

Преобразуем левую часть.

Сначала воспользуемся формулами приведения:

$sin^2(pi-a)=(sin(pi-a))^2=(sina)^2=sin^2a\\sin(frac{pi}{2}-a)=cosa\\cos(frac{3pi}{2}+a)=sina$

Затем воспользуемся формулами двойного угла:

$sin2alpha =2sinalpha cdot cosalpha \ \ cos2alpha =cos^2alpha-sin^2alpha$

И упростим выражение.

Получим:

$frac{sin^2(pi-alpha )+cos2alpha +sin(frac{pi}{2}-alpha )}{sin2alpha +2cos(frac{3pi}{2}+alpha)}=frac{sin^2alpha+cos2alpha +cosalpha }{sin2alpha +2sinalpha}=\ \=frac{sin^2alpha+cos^2alpha-sin^2alpha +cosalpha }{2sinalphacdot cosalpha +2sinalpha}=frac{cosalpha(cosalpha+1)}{2sinalpha(cosalpha +1)}=frac{1}{2} cdot frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{1}{2} ctgalpha$

После преобразований левой части, получилась правая часть ⇒ Выражение является тождеством.

Что и требовалось доказать.