Question

Найти общий интеграл (общее решение) уравнения с разделяющейся переменной

$x* sqrt{1+ y^{2} }dx+y* sqrt{1+ x^{2} } dy=0$

Answer 1

Найдем интегралы
$(x*sqrt{1+y^{2} } )dx$, так как интеграл ищем относительно х, то $(sqrt{1+y^{2} }$ рассматриваем как число, поэтому интеграл будет равен $(x^{2}*sqrt{1+y^{2}})/2$
Теперь поработаем со второй половиной уравнения
$[(y^{2}*sqrt{1+x^{2}})/2$
тогда в общем уравнение будет иметь такой вот вид:
$(x^{2}*sqrt{1+y^{2}})/2+(y^{2}*sqrt{1+x^{2}})/2$ методом "пристального взгляда" заметим, что обе половинки уравнения неотрицательны, поэтому, чтобы они были равны 0, они обе должны быть равны 0, поэтому решим систему
$left { {{(y^{2} *sqrt{1+x^{2}})/2=0} atop {( x^{2} *sqrt{1+y^{2}})/2=0}} right.$
$left { {{y^{2} *sqrt{1+x^{2}}=0} atop { x^{2} *sqrt{1+y^{2}}=0}} right.$
квадратные корни в данном случае 0 равны быть не могут, поэтому решением будет являться пара$left { {{y=0} atop {x=0}} right.$