Question

помогите решить : вычислить предел 

Answer 1

$lim_{xto frac{pi}{3}}frac{2cosx-1}{sin(frac{pi}{3}-x)}=limfrac{2(cosx-frac{1}{2})}{frac{pi}{3}-x}=limfrac{2(cosx-cosfrac{pi}{3})}{frac{pi}{3}-x}=\\=limfrac{-4sin(frac{x}{2}+frac{pi}{6})sin(frac{x}{2}-frac{pi}{6})}{frac{pi}{3}-x}=lim_{xto frac{pi}{3}}frac{-4sin(frac{x}{2}+frac{pi}{6})(frac{x}{2}-frac{pi}{6})}{frac{pi}{3}-x}=\\=limfrac{-4sinfrac{2pi }{3}cdot frac{1}{2}(x-frac{pi}{3})}{-(x-frac{pi}{3})}=2sinfrac{2pi}{3}=2cdot frac{sqrt3}{2}=sqrt3$

$sin alpha approx alpha ; ; pri; ; alpha to 0$

$cos alpha -cos beta =-2sinfrac{ alpha + beta }{2}cdot sinfrac{ alpha - beta }{2}$

2 способ. Правило  Лопиталя.

$...=limfrac{(2cosx-1)'}{(sin(frac{pi}{3}-x))'}=lim_{xto frac{pi}{3}}frac{-2sinx}{-cos(frac{pi}{3}-x)}=frac{2sinfrac{pi}{3}}{cos0}=frac{2frac{sqrt3}{2}}{1}=sqrt3$

Answer 2

Применили формулу разности косинусов cosa-cosb=...